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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:41 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | | Der Körper, der durch Rotation der Kurve [mm] (y-b)^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] = [mm] a^{2}, [/mm] 0<a<b um die x-Achse entsteht, wird Kreisring oder auch Torus genannt. Berechnen Sie seine Oberfläche und sein Volumen |
Hallo
Ich hab bisher nur die Oberfläche ausgerechnet und wollte euch das mal kontrollieren lassen!
Dann mal los:
[mm] (y-b)^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] = [mm] a^{2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
y-b = [mm] \wurzel{a^{2}-x^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
y = [mm] \wurzel{a^{2}-x^{2}} [/mm] + b
y' = [mm] \bruch{-x}{\wurzel{a^{2}-x^{2}}} [/mm]
Formel für Oberfläche:
[mm] 2\pi \integral_{a}^{b}{f(x) \wurzel{1 + f'(x)} dx}
[/mm]
ich nehme einfach an, das die Grenzen von h bis 0 gehen
(Null deswegen weil es dann leichter zu berechnen ist hoffe ich)
Darf ich das?
Oder müsste ich von h+xo bis h?
also
O = [mm] 2\pi \integral_{0}^{h}{[\wurzel{a^{2}-x^{2}} + b]*[\wurzel{1+ a^{2}-x^{2}}] dx}
[/mm]
elementare Umforumgen
= [mm] 2\pi \integral_{0}^{h}{(\wurzel{a^{2}-x^{2}} + b) * \bruch{a}{\wurzel{a^{2}-x^{2}}}dx}
[/mm]
a ist eine Konstante, kann also nach vorne gezogen werden
und ich multipliziere aus.
= [mm] 2\pi*a \integral_{0}^{h}{(1+\bruch{b}{\wurzel{a^{2}-x^{2}}})dx}
[/mm]
= [mm] 2\pi*a [/mm] [ [mm] \integral_{0}^{h}{1 dx} [/mm] + b* [mm] \integral_{0}^{h}{\bruch{dx}{\wurzel{a^{2}-x^{2}}}} [/mm] ]
das erste Integral hab ich nun schon eben schnell ausgerechnet
[mm] 2\pi*a*h [/mm] + [mm] 2\pi*a*b \integral_{0}^{h}{{\bruch{dx}{\wurzel{a^{2}-x^{2}}}}}
[/mm]
x = a*sin(t) t = [mm] arcsin(\bruch{x}{a})
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = a*cos(t)
[mm] 2\pi*a*h [/mm] + [mm] 2\pi*a*b \integral_{0}^{h}{\bruch{dx}{\wurzel{a^{2}-x^{2}}}} [/mm] = [mm] 2\pi*a*h [/mm] + [mm] 2\pi*a*b [arcsin(\bruch{h}{a})-arcsin(\bruch{0}{a})]
[/mm]
= [mm] 2\pi*a*h [/mm] + [mm] 2\pi*a*b [arcsin(\bruch{h}{a})]
[/mm]
Ist das so nun richtig ???
Oder muss ich die Grenzen anders setzen?
Wenn ja, wie?
bei [mm] \integral_{h}^{h+Xo} [/mm] würde ja fast das selbe rauskommen, nur das ich dann 2 arcsin drin hätte die ich auch nicht weiter auflösen kann ?!?
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Hallo Tequila!
Deine Formeln / Dein Weg erschließt sich mir nicht ganz. Aber auf jeden Fall müssen Deine Integrationsgrenzen $-a_$ bzw. $+a_$ lauten, da diese Werte den Radius des rotierenden Kreises angibt.
Viel einfacher lassen sich die gesuchten Werte hier ohne Integration mit den ![[]](/images/popup.gif) GULDIN'schen Regeln ermitteln.
Damit erhalte ich dann sehr schnell:
$O \ = \ [mm] 4*\pi^2*a*b$
[/mm]
$V \ = \ [mm] \pi^2*a^2*b$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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