Aufgabe korrekt? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 07.05.2009 | | Autor: | johnny23 |
Hallo,
ich habe mich mit einer Aufgabe beschäftigt und würde gerne wissen, ob der Lösungsweg korrekt ist.
Sei f: R [mm] \to R^2 [/mm] definiert durch f(x,y) = [mm] \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm] für (x,y) ungleich (0,0) und 0 für (x,y) = (0,0)
Nun soll untersucht werden, ob f in (0,0) partiell diffbar ist und wo f stetig ist.
Nun ich habe zunächst den limes h->0 für [mm] \bruch{f(h,o) - f(0,0)}{h} [/mm] und [mm] \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} [/mm] gebildet und erhielt zum einen [mm] \bruch{1}{h} [/mm] und zum Anderen [mm] \bruch{-1}{h}, [/mm] somit gäbe es keinen Grenzwert und f ist in f(0,0) nicht partiell integrierbar. Ist dies soweit richtig?
Nun ja und um die stetigkeit zu prüfen habe ich erwähnt, dass f in R\ {0} stetig ist, da es aus stetiogen Fkt zusammengesetzt ist und habe daher nur die Stetigkeit in f(0,0) untersucht.
Ich habe zunächst überlegt was passiert, wenn x bzw y Nullfolgen wären.
Also lim n->OO f(xn,0) = 1 und lim n->oo f(0,yn)=-1 .
Somit wäre meiner Meinung nach schon wiederlegt, dass f in (0,0) stetig sei.
Ich habe irgendwie das Gefühl, dass die Hälfte wiedermals falsch ist...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen bzw den Kram kommentieren 
MFG und vielen Dank
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Partiell-diffbar-und-Stetigkeit-korrekt
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Hallo johnny23,
> Hallo,
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> ich habe mich mit einer Aufgabe beschäftigt und würde gerne
> wissen, ob der Lösungsweg korrekt ist.
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> Sei f: R [mm]\to R^2[/mm] definiert durch f(x,y) =
> [mm]\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm] für (x,y) ungleich (0,0) und 0 für
> (x,y) = (0,0)
>
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> Nun soll untersucht werden, ob f in (0,0) partiell diffbar
> ist und wo f stetig ist.
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> Nun ich habe zunächst den limes h->0 für [mm]\bruch{f(h,o) - f(0,0)}{h}[/mm]
> und [mm]\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm] gebildet und erhielt zum einen
> [mm]\bruch{1}{h}[/mm] und zum Anderen [mm]\bruch{-1}{h},[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") somit gäbe es
> keinen Grenzwert und f ist in f(0,0) nicht partiell
> integrierbar differenzierbar. Ist dies soweit richtig?
Jo!
>
>
> Nun ja und um die stetigkeit zu prüfen habe ich erwähnt,
> dass f in R\ {0} stetig ist, ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Du meinst in [mm] $\IR^{\red{2}}\setminus\{(0,0)\}$
[/mm]
> da es aus stetiogen Fkt
> zusammengesetzt ist und habe daher nur die Stetigkeit in
> f(0,0) untersucht.
Gut!
>
> Ich habe zunächst überlegt was passiert, wenn x bzw y
> Nullfolgen wären.
>
>
> Also lim n->OO f(xn,0) = 1 und lim n->oo f(0,yn)=-1 .
Wie kommt das heraus?
Wenn jeweils die eine Komponente konstant 0 ist und die andere eine Nullfolge ist, so streben doch [mm] $f(x_n,0)$ [/mm] und [mm] $f(0,y_n)$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] oder irre ich hier gerade?
>
>
> Somit wäre meiner Meinung nach schon wiederlegt, dass f in
> (0,0) stetig sei.
Das stimmt wohl, mir leuchtet aber deine Begründung nicht ein, suche mal vernünftige Folgen heraus oder (oft ein nützlicher "Trick") gehe mal zu Polarkoordinaten über [mm] $x=r\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y=r\sin(\varphi)$ [/mm] und schaue dir den GW [mm] $\lim\limits_{r\downarrow 0}f(r,\varphi)$ [/mm] an, existiert der unabh. von [mm] $\varphi$ [/mm] und ist er stets $f(0,0)=0$??
>
>
> Ich habe irgendwie das Gefühl, dass die Hälfte wiedermals
> falsch ist...
Nein, max. [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm]
>
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen bzw den Kram kommentieren
>
>
Das war doch schon ganz ok ...
> MFG und vielen Dank
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Partiell-diffbar-und-Stetigkeit-korrekt
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Das stimmt wohl, mir leuchtet aber deine Begründung nicht
> ein,
Er hat halt einfach eingesetzt: [m]\bruch{0^2-y_n^2}{0^2+y_n^2}=-1[/m] usw usf.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Do 07.05.2009 | | Autor: | johnny23 |
vielen vielen dank! das freut mich schonmal sehr.. ja und natürlich heisst es [mm] R^2 [/mm] und nicht integrierbar.. da war ich wohl etwas voreilig.
nun ja die sache mit der Stetigkeit im Nullpunkt habe ich so gerechnet:
lim f(xn,0) = lim [mm] \bruch{xn^2 - 0}{xn^2 + 0} [/mm] = lim 1 = 1
ebenso für yn verfahren.. so hatte ich ein ähnliches Beispiel im Scipt, wobei ich das Verfahren einfach kopiert habe ohne wirklich zu vertehen, warum ich so vorgehe..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nun ich habe zunächst den limes h->0 für [mm]\bruch{f(h,o) - f(0,0)}{h}[/mm]
> und [mm]\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm] gebildet und erhielt zum einen
> [mm]\bruch{1}{h}[/mm] und zum Anderen [mm]\bruch{-1}{h},[/mm] somit gäbe es
> keinen Grenzwert und f ist in f(0,0) nicht partiell
> integrierbar [wohl diffbar, oder? SEcki]. Ist dies soweit richtig?
Ja. Hätten sie es denn sein sollen?
> Also lim n->OO f(xn,0) = 1 und lim n->oo f(0,yn)=-1 .
>
>
> Somit wäre meiner Meinung nach schon wiederlegt, dass f in
> (0,0) stetig sei.
Ja.
> Ich habe irgendwie das Gefühl, dass die Hälfte wiedermals
> falsch ist...
Wieso denn?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Do 07.05.2009 | | Autor: | johnny23 |
ok .. da war wohl secki schneller als ich ..
na dann is mein vorgehen doch richtig.
ja ehrlich gesgat habe ich im moment viel probleme mit dem studium und mich gewunder dass ich bei dieser aufgabe relativ gut voran kam.. naja und bei anderen aufgaben wo ich schnell zum ergebnis kam war fast alles falsch.
aber mich freut, dass ihr euch die zeit genommen habt und dass ich was richtig gerechnet habe. vielen dank euch
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