Aufgabe partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mo 22.12.2008 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | | [mm] \integral \bruch{e^{x}+cosx}{e^{2x}}dx [/mm] |
So jetzt hab ich ein Problem bei obiger Aufgabe.
Zunächst habe ich das Ganze umgeschrieben:
[mm] \integral (e^{x}+cosx)*e^{-2x}dx
[/mm]
Das ganze möchte ich durch partielle Integration lösen. (wäre Substitution auch möglich?)
Zunächst also u´= [mm] (e^{x}+cosx), v=e^{-2x}
[/mm]
Dann komm ich auf folgendes:
[mm] \integral (e^{x}+cosx)*e^{-2x}dx [/mm] = [mm] (e^{x}-sinx)*e^{-2x}-\integral (e^{x}-sinx)*-2e^{-2x}
[/mm]
Hoffe soweit erstmal ok?
[mm] \integral (e^{x}-sinx)*(-2e^{-2x}) [/mm] hab ich dann zusammenefasst und komme auf [mm] \integral2e^{-x}sinx [/mm] !?
Das ausgerechnet sollte [mm] -\bruch {1}{4}e^{-x}(cosx+sinx) [/mm] ergeben?
Jetzt habe ich folgendes stehen, falls es überhaupt stimmt:
[mm] (e^{x}-sinx)*e^{-2x}-(-\bruch {1}{4}e^{-x}(cosx+sinx))
[/mm]
Wie komm ich ejtzt von diesen Ausdruck auf mein Ergebnis: [mm] \bruch{1}{5}e^{-2x}(sinx-2cosx)-e^{-x}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo larifari!
Bevor Du hier an das Integrieren denkst, solltest Du den Ausdruck erst umformen und vereinfachen:
[mm] $$\bruch{e^{x}+\cos(x)}{e^{2x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{x}}{e^{2x}}+\bruch{\cos(x)}{e^{2x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{-x}+e^{-2x}*\cos(x)$$
[/mm]
Dabei kann nun der 1. Term direkt integriert werden.
Für den 2. Term [mm] $e^{-2x}*\cos(x)$ [/mm] musst Du nunmehr die partielle Integration bemühen (und das gleich 2-mal hintereinander).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Di 23.12.2008 | | Autor: | larifari |
Neuer Tag, neues Glück...geht schon wieder bescheiden los.
Also ich habe jetzt umgeformt, soweit so gut.
Jetzt habe ich folgendes stehen:
[mm] \integral cosx*e^{-2x} =-\bruch{1}{2}e^{-2x}*cosx-\integral -\bruch{1}{2}e^{-2x}*(-sinx)
[/mm]
Wie löse ich jetzt: [mm] \integral -\bruch{1}{2}e^{-2x}*(-sinx) [/mm] ? Erneut partielle Integration bringt mich ungefähr wieder zu einer ähnlichen Sache, Substitution hatte auch kein Erfolg und in der Formelsammlung stand auch nichts, womit ich hätte was anfangen können? Meine Matherechner liefern mir auch alle ein anderes Ergebnis...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Di 23.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo larifari!
Wie oben schon angedeutet, musst Du hier nochmals partielle Integration anwenden. Damit erhältst Du dann eine Gleichung der Art:
[mm] $$\text{gesuchtes Integral} [/mm] \ = \ [mm] \text{irgendwas anderes} [/mm] + [mm] A*\text{gesuchtes Integral}$$
[/mm]
Dies kannst Du dann wie eine normale Gleichung nach [mm] $\text{gesuchtes Integral}$ [/mm] umstellen.
Gruß
Loddar
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