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| Aufgabe | Folgern Sie aus der Formel
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] , dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert. |
Hallo,
ich weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe.
Also ich beweise erstmal, dass [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] konvergiert.
Dann kann ich mit dem Majorantenkriterium beweisen, dass [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert.
Ist irgendwie zu wenig/ zu einfach.
Bin ich auf dem Holzweg ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 02.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Folgern Sie aus der Formel
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
> für n [mm]\in \IN[/mm] , dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2}[/mm]
> konvergiert.
> Hallo,
> ich weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig verstanden
> habe.
>
> Also ich beweise erstmal, dass [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm]
> = 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] konvergiert.
Das ist ein guter Anfang.
>
> Dann kann ich mit dem Majorantenkriterium beweisen, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2}[/mm] konvergiert.
Wenn du gezeigt hast, dass [mm] \frac{1}{k(k+1)}>\frac{1}{k^{2}} [/mm] ist, hast du eine Majorante gefunden.
>
> Ist irgendwie zu wenig/ zu einfach.
> Bin ich auf dem Holzweg ?
Nein, aber du solltest deine Schritte noch erläutern.
Marius
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Hi,
okay, danke für die Antwort.
Jetzt noch mal zum Verständnis.
Es steht ja da: [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]
Das heißt, ist es jetzt egal, ob ich für den Beweis der Konvergenz die Summe [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] benutze oder 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]
Das eine ist die Summe, das andere ist die "Formel". Beides liefert aber das Gleiche.
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Hiho,
> Es steht ja da: [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Das heißt, ist es jetzt egal, ob ich für den Beweis der
> Konvergenz die Summe oder 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
Ja.
> Das eine ist die Summe, das andere ist die "Formel". Beides liefert aber das Gleiche.
Ja.
Hast du das denn schon gezeigt, dass die Gleichheit gilt? Ist dir das klar?
Gruß,
Gono
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Hallo,
die Gleichheit müssen wir nicht zeigen, steht als Hinweis extra dort ( würde mit Induktion gehen, unter anderem).
Okay, dann nehme ich für den Konvergenzbeweis 1 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] = 1
=> konvergiert.
Also wir suchen eine Majorante sodass Majorante [mm] \ge [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] $
Dazu nehme ich: [mm] \summe_{}^{} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{k+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{}^{} \bruch{k}{k+1}
[/mm]
So, das ist unsere Majorante, die konvergiert.
Und es gilt für alle k [mm] \in \IN [/mm] immer:
[mm] \summe_{}^{} \bruch{k}{k+1} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2+k}
[/mm]
Denn [mm] \summe_{}^{} \bruch{k}{k} \ge \summe_{}^{} \bruch{k}{k+1} [/mm]
Da [mm] \bruch{k}{k+1} [/mm] der 1 sehr nah rankommt( GW ist 1) MUSS das immer größer als [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] sein.
Bisschen hin und her gesprungen, aber ich hoffe, es ist klar, was ich sagen möchte..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Sa 02.01.2016 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es geht viel einfacher.
Wegen k*k<k*(k+1) gilt [mm] \bruch{1}{k*k}>\bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
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Hallo,
das geht auch, aber
ich muss doch etwas finden, was größer ist als die Summe ( die Majorante ist gesucht), ich darf nur $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] $ = 1 - $ [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] $ verwenden..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 02.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du mussz zwei Dinge zeigen:
Erstens, dass [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} [/mm] konvergiert.
Und zweitens, dass [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] eine Majorante zu [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] ist.
Hast du das gezeigt, musst du nur noch mit dem Majorantenkriterium deine Schlüsse bezüglich der Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] ziehen.
Marius
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Hallo,
den ersten Schritt habe ich gemacht. Die Reihe konvergiert gegen 1.
Zu zeigen bleibt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] ist Majorante zu $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] $
Weil mir das mit [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] zu schwer ist,
benutze ich [mm] \summe_{}^{} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] (durch die Gleichheit darf ich das)
Also muss ich beweisen, dass [mm] \summe_{}^{} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] zu [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] ist.
Dazu forme ich [mm] \summe_{}^{} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] um , in(Bruch umformen):
[mm] \summe_{}^{} \bruch{k}{k+1}
[/mm]
So, jetzt muss ich beweisen, dass [mm] \summe_{}^{} \bruch{k}{k+1} [/mm] eine Majorante zu [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] ist.
Nun ja, da fehlen mir aber irgenwie die Worte dazu, weil es offensichtlich ist.
[mm] \summe_{}^{} \bruch{k}{k+1} \ge \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm]
Alleine, wenn man sich den Nenner anguckt: in einem k+1, in dem anderen [mm] k^2. [/mm] Je größer der Nenner, desto kleiner der gesamte Bruch.
Außerdem steht dort k/k+1 , das bedeutet, man teilt fast durch die gleiche Zahl, wenn da nicht das+1 wäre. Das heißt, es ist fast 1. Mehr kann ich da irgendwie nicht argumentieren, weil es zu offensichtlich ist, ich weiß, das "offensichtlich" reicht nicht, aber mir fällt leider nix mehr ein, was man dazu noch schreiben könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 02.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> den ersten Schritt habe ich gemacht. Die Reihe konvergiert
> gegen 1.
Ok
>
>
> Zu zeigen bleibt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] ist Majorante zu
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
>
> Weil mir das mit [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] zu
> schwer ist,
> benutze ich [mm]\red{\summe_{}^{}}1-\bruch{1}{n+1}[/mm] (durch die
> Gleichheit darf ich das)
Die rot markierte Summe ist falsch.
>
> Also muss ich beweisen, dass [mm]\summe_{}^{}[/mm] 1 -
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] zu [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}[/mm] ist.
Das ist leider nicht einmal ein vollständiger Satz.
>
> Dazu forme ich [mm]\summe_{}^{}[/mm] 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] um ,
> in(Bruch umformen):
>
> [mm]\summe_{}^{} \bruch{k}{k+1}[/mm]
Was tust du hier?
>
> So, jetzt muss ich beweisen, dass [mm]\summe_{}^{} \bruch{k}{k+1}[/mm]
> eine Majorante zu [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}[/mm] ist.
>
> Nun ja, da fehlen mir aber irgenwie die Worte dazu, weil es
> offensichtlich ist.
> [mm]\summe_{}^{} \bruch{k}{k+1} \ge \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
>
> Alleine, wenn man sich den Nenner anguckt: in einem k+1, in
> dem anderen [mm]k^2.[/mm] Je größer der Nenner, desto kleiner der
> gesamte Bruch.
So, wie du es da stehen hast, ist es keinesfalls offensichtlich, da die Zähler nicht gleich sind.
Forme besser wie folgt um:
[mm] \bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{1}{k^{2}+k}>\frac{1}{k^{2}}
[/mm]
Nun, da jeder Summand bei [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] größer als [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] ist, ...
>
> Außerdem steht dort k/k+1 , das bedeutet, man teilt fast
> durch die gleiche Zahl, wenn da nicht das+1 wäre. Das
> heißt, es ist fast 1. Mehr kann ich da irgendwie nicht
> argumentieren, weil es zu offensichtlich ist, ich weiß,
> das "offensichtlich" reicht nicht, aber mir fällt leider
> nix mehr ein, was man dazu noch schreiben könnte.
Der Weg ist leider nicht ok, weil du die Summenzeichen nicht sauber beachtest.
Du hast, wenn du alle Schritte durchgeführt hast, gezeigt, dass
[mm] 1-\frac{1}{n+1}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}>\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k^{2}}
[/mm]
Ziehe nun noch die entsprechenden Schlüsse, und du bist fertig.
Marius
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Hallo nochmal,
$ [mm] 1-\frac{1}{n+1}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}>\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] $
Genau hier ist das Problem
Warum ist [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] > [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm]
Wenn doch der Nenner von der ersten Summe [mm] k^2 [/mm] + k und von der anderen nur [mm] k^2 [/mm] ist.
Damit wird doch der gesamte Bruch kleiner als [mm] \bruch{1}{k^2}
[/mm]
Wie kann [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] > [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] sein ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 02.01.2016 | | Autor: | abakus |
> Hallo nochmal,
>
> [mm]1-\frac{1}{n+1}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}>\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
>
>
> Genau hier ist das Problem
>
> Warum ist [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] >
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
>
> Wenn doch der Nenner von der ersten Summe [mm]k^2[/mm] + k und von
> der anderen nur [mm]k^2[/mm] ist.
>
> Damit wird doch der gesamte Bruch kleiner als
> [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm]
>
> Wie kann [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] >
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}[/mm] sein ?
Du hast recht, ich war in der falschen Richtung unterwegs.
Es gilt [mm] $k^2>k(k-1)$ [/mm] und somit [mm] $\bruch{1}{k^2}<\bruch{1}{k(k-1)}$
[/mm]
Wenn die Reihe mit [mm] $\bruch{1}{k(k+1)}$ [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe mit [mm] $\bruch{1}{k(k-1)}$ [/mm] (dafür ist nur eine kleine Indexverschiebung erforderlich).
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Also ich bin jetzt etwas verwirrt, ehrlich gesagt.
Wir haben:
[mm] 1-\frac{1}{n+1}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] , diese Reihe konvergiert.
WIr müssen mit dem Majorantenkriterium und anhand der obigen Reihe beweisen, dass [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] konvergiert.
Was ist jetzt der erste Schritt, den ich machen muss ? Und ich darf nur [mm] 1-\frac{1}{n+1}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] benutzen als Majorante.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 02.01.2016 | | Autor: | abakus |
> Also ich bin jetzt etwas verwirrt, ehrlich gesagt.
>
> Wir haben:
>
> [mm]1-\frac{1}{n+1}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] , diese
> Reihe konvergiert.
>
> WIr müssen mit dem Majorantenkriterium und anhand der
> obigen Reihe beweisen, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}[/mm] konvergiert.
>
> Was ist jetzt der erste Schritt, den ich machen muss ? Und
> ich darf nur
> [mm]1-\frac{1}{n+1}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] benutzen
> als Majorante.
Hallo,
mit einer Indexverschiebung gilt
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\summe_{k=2}^{n+1}\bruch{1}{(k-1)k}$, [/mm] und das ist größer als [mm] $\summe_{k=2}^{n+1}\bruch{1}{k^2}$
[/mm]
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Hallo,
oh man, das war ja ne schwere Geburt :D Alles klar, vielen Dank.
Ist das ein k' oder war das ein Tippfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Sa 02.01.2016 | | Autor: | abakus |
Nein, das ist ein Komma im Text.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Sa 02.01.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für die zahlreichen Antworten. Jetzt habe ich es verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 So 03.01.2016 | | Autor: | fred97 |
$k [mm] \le k^2 \Rightarrow k^2+k \le 2k^2 \Rightarrow \bruch{1}{k^2} \le \bruch{2}{k^2+k} =\bruch{2}{k(k+1)}$
[/mm]
ES folgt:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] $ konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{k(k+1)} [/mm] $ konvergent [mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergent.
FRED
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