Aufgabe zu Basis, Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Di 06.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Gegeben seien folgende vier Vektoren aus [mm] \IR^{3}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 3} v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 1} v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -5 \\ 5} v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 17}
[/mm]
(i) Sei [mm] V\subseteq \IR^{3} [/mm] der von [mm] v_{1}...v_{4} [/mm] aufgespannte Vektoraum. Welche Dimension hat V?
(ii) Waehlen Sie eine Menge von Vektoren aus [mm] v_{1}...v_{4} [/mm] aus die eine Basis von V bilden. Stellen sie die uebrigen Vektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren dar.
(iii) Ergaenzen Sie die Basis von V zu einer Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] |
Hallo,
Aufgabe sieht man ja oben. Hier nun mal meine Rechnung:
(i) Um die Dimension zu bestimmen muss ich die Anzahl der Vektoren in der Basis kennen, also habe ich folgende Matrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 4 & -5 & 5 \\ 1 & 1 & 17 } \Rightarrow [/mm] . . . [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Also hat die Basis mindestens drei Vektoren [mm] \Rightarrow [/mm] dim V = 3
(ii) Da ich nun weiss, dass die Basis mindstens drei Vektoren beinhalten muss, muss ich also einen der vier gegebenen Vektoren als Linearkombination darstellen.
Hierbei brauche ich nicht mehr zu pruefen ob die drei Vektoren der Basis linear unabhaengig sind, da ich das be (i) schon pruefte. Also nun folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 4 & 1\\ -1 & 3 & 5 & 1\\ 3 & 1 & 5 & 17}\Rightarrow [/mm] . . . [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 2.5\\ 0 & 0 & 1 & 0.5}
[/mm]
Basis = [mm] \{\vektor{1 \\ -1 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 3 \\ 1},\vektor{4 \\ -5 \\ 5}\}
[/mm]
(iii) Der Vektorraum [mm] \IR^{3} [/mm] hat die Dimension drei, d.h. die Basis muss drei linear unabhaengige Elemente enthalten. Genau eine solche Basis habe ich bei (ii schon gefunden.
Wenn die Aufgabe so zu loesen waere, dann waere sie unlogisch. Viel ehr denke ich, dass der durch die vier Vektoren aufgespannte Vektorraum eine Dimension von zwei hat, dass wuerde die Aufgabe logisch machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 06.01.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Pille,
> Gegeben seien folgende vier Vektoren aus [mm]\IR^{3}[/mm]
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 3} v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ 1} v_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ 5} v_{4}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 17}[/mm]
> (i)
> Sei [mm]V\subseteq \IR^{3}[/mm] der von [mm]v_{1}...v_{4}[/mm] aufgespannte
> Vektoraum. Welche Dimension hat V?
> (ii) Waehlen Sie eine Menge von Vektoren aus [mm]v_{1}...v_{4}[/mm]
> aus die eine Basis von V bilden. Stellen sie die uebrigen
> Vektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren dar.
> (iii) Ergaenzen Sie die Basis von V zu einer Basis von
> [mm]\IR^{3}[/mm]
> Hallo,
> Aufgabe sieht man ja oben. Hier nun mal meine Rechnung:
>
> (i) Um die Dimension zu bestimmen muss ich die Anzahl der
> Vektoren in der Basis kennen, also habe ich folgende Matrix
> aufgestellt:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 4 & -5 & 5 \\ 1 & 1 & 17 } \Rightarrow[/mm]
> . . . [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Warum hast Du die Vektoren in Zeilen- und nicht in Spaltenform in die Matrix geschrieben?
Gib' doch mal Deine ausführliche Lösung an!
> Also hat die Basis mindestens drei Vektoren [mm]\Rightarrow[/mm] dim
> V = 3
>
> (ii) Da ich nun weiss, dass die Basis mindstens drei
> Vektoren beinhalten muss, muss ich also einen der vier
> gegebenen Vektoren als Linearkombination darstellen.
> Hierbei brauche ich nicht mehr zu pruefen ob die drei
> Vektoren der Basis linear unabhaengig sind, da ich das be
> (i) schon pruefte. Also nun folgende Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 4 & 1\\ -1 & 3 & 5 & 1\\ 3 & 1 & 5 & 17}\Rightarrow[/mm]
> . . . [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 2.5\\ 0 & 0 & 1 & 0.5}[/mm]
>
> Basis = [mm]\{\vektor{1 \\ -1 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 3 \\ 1},\vektor{4 \\ -5 \\ 5}\}[/mm]
Diese 3 Vektoren bilden jedenfalls KEINE Basis, da sie linear abhängig sind!
> (iii) Der Vektorraum [mm]\IR^{3}[/mm] hat die Dimension drei, d.h.
> die Basis muss drei linear unabhaengige Elemente enthalten.
> Genau eine solche Basis habe ich bei (ii schon gefunden.
mfG!
Zwerglein
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> Gegeben seien folgende vier Vektoren aus [mm]\IR^{3}[/mm]
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 3} v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ 1} v_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ 5} v_{4}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 17}[/mm]
> (i)
> Sei [mm]V\subseteq \IR^{3}[/mm] der von [mm]v_{1}...v_{4}[/mm] aufgespannte
> Vektoraum. Welche Dimension hat V?
> (ii) Waehlen Sie eine Menge von Vektoren aus [mm]v_{1}...v_{4}[/mm]
> aus die eine Basis von V bilden. Stellen sie die uebrigen
> Vektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren dar.
> (iii) Ergaenzen Sie die Basis von V zu einer Basis von
> [mm]\IR^{3}[/mm]
> Hallo,
> Aufgabe sieht man ja oben. Hier nun mal meine Rechnung:
>
> (i) Um die Dimension zu bestimmen muss ich die Anzahl der
> Vektoren in der Basis kennen, also habe ich folgende Matrix
> aufgestellt:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 4 & -5 & 5 \\ 1 & 1 & 17 } \Rightarrow[/mm]
> . . . [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Hallo,
ich gehe jetzt, um Dir ein paar Dinge zu erklären, erstmal davon aus, daß Deine ZSFen, deren Entstehungsgeschichte Du vornehm verschweigst, richtig sind, und ich schaue, welche Schlüsse man aus diesen dann ziehen kann.
Du kannst das so machen, genau genommen bekommst Du dann am Ende ja [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0}.
[/mm]
Du machst Dir hiermit aber unnötige Arbeit, denn den Rang kannst Du auch an der Matrix, die Du in ii) aufstellst, ablesen.
Das überflüssige Hantieren mit zwei Matrizen kostet in der Klausur unnötig Zeit.
>
> Also hat die Basis mindestens drei Vektoren
Nein. Genau drei.
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim
> V = 3
Ja. Also ist der Raum der von den drei Vektoren aufgspannt wird, der [mm] \IR^3, [/mm] denn das ist der einzige dreidimensionale Unterraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
>
> (ii) Da ich nun weiss, dass die Basis mindstens drei
> Vektoren beinhalten muss, muss ich also einen der vier
> gegebenen Vektoren als Linearkombination darstellen.
> Hierbei brauche ich nicht mehr zu pruefen ob die drei
> Vektoren der Basis linear unabhaengig sind, da ich das be
> (i) schon pruefte. Also nun folgende Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 4 & 1\\ -1 & 3 &\red{ -}5 & 1\\ 3 & 1 & 5 & 17}\Rightarrow[/mm]
> . . . [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 2.5\\ 0 & 0 & 1 & 0.5}[/mm]
Hier kannst Du ablesen: Rang der Matrix=3, also ist die Dimension des von den vier Vektoren aufgespannten Raumes =3, und es ist eine
>
> Basis = [mm]\{\vektor{1 \\ -1 \\ 3}, \vektor{-2 \\ 3 \\ 1},\vektor{4 \\ -5 \\ 5}\}[/mm].
Damit hättest Du eine Basis gefunden.
Aus der ZSF könntest Du auch ablesen, wie man den letzten Vektor als Linearkombination der anderen beiden schreibt, aber das machen wir dann doch lieber mit der richtigen ZSF.
Wie Du schon selbst gemerkt hast, stimmen Deine ZSFen nicht.
Bei der zweiten liegt es möglicherweise daran, daß Du beim Aufstellen der Matrix das rot eingefügte Minuszeichen vergessen hattest, was bei der ersten passiert ist, kann man nicht wissen.
Rechne also erneut, und wenn Du wieder rang=3 bekommst, poste Deine kompletten Umformungen.
Gruß v. Angela
>
> (iii) Der Vektorraum [mm]\IR^{3}[/mm] hat die Dimension drei, d.h.
> die Basis muss drei linear unabhaengige Elemente enthalten.
> Genau eine solche Basis habe ich bei (ii schon gefunden.
>
> Wenn die Aufgabe so zu loesen waere, dann waere sie
> unlogisch. Viel ehr denke ich, dass der durch die vier
> Vektoren aufgespannte Vektorraum eine Dimension von zwei
> hat, dass wuerde die Aufgabe logisch machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 06.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm das sah mir wirklich schwer nach einem Rechenfehler aus:
(i)+(ii)
Ich nehme an, dass der aufgespannte Vekorraum eine Dimension von 2 hat, was aufgrund der Aufgabenstellung logisch waere. Wenn dem so ist, hat die Basis zwei Elemente, also versuche ich die beiden letzten Vektoren [mm] v_{3} [/mm] und [mm] v_{4} [/mm] als Linearkombinationen der ersten beiden Vektoren darzustellen:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -5 \\ 3 & 1 & 5 } \Rightarrow [/mm] a = 2 und b = -1. Ein kurzes durchrechnen zeigt, dass diese Koeffizienten richig sind.
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 17 } \Rightarrow [/mm] a = 5 und b = 2. Ein kurzes durchrechnen zeigt auch hier, dass diese Koeffizienten richig sind.
Daher ist eine Basis B = [mm] \{v_{1},v_{2}\}
[/mm]
Nun zu (iii):
[mm] \IR^{3} [/mm] hat die Dimension 3, d.h. die Basis muss drei Elemente haben. Also muss ich noch ein weiteres Element finden. Ich waehle hier nun (willkuerlich) das Element [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und schaue ob dieses, zusammen mit den Elementen [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] eine Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] bildet, also ob die drei Vektoren linear unabhaengig sind.
Also loese ich folgende Matrix auf:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 1 }
[/mm]
Hierbei bekomme ich als Loesung die lineare Unabhaengigkeit heraus, also bilden diese drei Elemente eine Basis von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Mal so nebenbei gefragt, kann man ein solches Element auch explizit berechnen oder ist man bei sowas wirklich schneller und einfacher bedient willkuerlich eins zu nehemen und das zu pruefen?
Abschliessend fuer mich ist doch dann folgende Aussage richtig oder?:
Beweisen Sie das folgenden Vektoren eine Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] bilden. a = [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 3} [/mm] b = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1}, [/mm] c = [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Mein Vorgehen: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1}
[/mm]
Dieses (homogene) Gleichungssystem loesen.
Wenn die Aufgabe nun lautet "Finden Sie eine Basis zu den von a,b,c aufgespannten Vektorraum", wuerde ich folgendes tun:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1} [/mm] und dieses System loesen.
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> Hmm das sah mir wirklich schwer nach einem Rechenfehler
> aus:
>
> (i)+(ii)
> Ich nehme an, dass der aufgespannte Vekorraum eine
> Dimension von 2 hat, was aufgrund der Aufgabenstellung
> logisch waere.
Hallo,
nein, so geht das nicht.
Du kannst nicht einfach irgendeine Dimension annehmen.
Du kannst das doch ausrechnen!
Du kannst es aus der in ZSF gebrachten Matrix 3x4-Matrix ablesen,
und mit etwas Know-how bekommst Du aus ihr auch die Darstellung der Nichtbasisvektoren als Linearkombination der Basisvektoren.
Du solltest auf die ZSF nicht verzichten, denn sie erspart Dir in den Fällen, in denen einem die Lösung nicht ins Auge springt, unsystematische Rechnereien.
> Wenn dem so ist, hat die Basis zwei
> Elemente, also versuche ich die beiden letzten Vektoren
> [mm]v_{3}[/mm] und [mm]v_{4}[/mm] als Linearkombinationen der ersten beiden
> Vektoren darzustellen:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 4 \\ -1 & 3 & -5 \\ 3 & 1 & 5 } \Rightarrow[/mm]
> a = 2 und b = -1. Ein kurzes durchrechnen zeigt, dass diese
> Koeffizienten richig sind.
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 17 } \Rightarrow[/mm]
> a = 5 und b = 2. Ein kurzes durchrechnen zeigt auch hier,
> dass diese Koeffizienten richig sind.
> Daher ist eine Basis B = [mm]\{v_{1},v_{2}\}[/mm]
Das stimmt zwar, aber Du hast bisher noch nicht gezeigt, daß die beiden linear unabhängig sind. Du mußt es zumindest erwähnen.
>
> Nun zu (iii):
> [mm]\IR^{3}[/mm] hat die Dimension 3, d.h. die Basis muss drei
> Elemente haben.
Ja.
> Also muss ich noch ein weiteres Element
> finden. Ich waehle hier nun (willkuerlich) das Element
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] und schaue ob dieses, zusammen mit den
> Elementen [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] bildet,
> also ob die drei Vektoren linear unabhaengig sind.
Ja, so kannst Du das machen.
Aber auch an dieser Stelle kann einem die ZSF im Falle größerer VRe Probiererei ersparen.
> Also loese ich folgende Matrix auf:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 1 }[/mm]
> Hierbei
> bekomme ich als Loesung die lineare Unabhaengigkeit heraus,
> also bilden diese drei Elemente eine Basis von [mm]\IR^{3}.[/mm]
Ja.
> Mal so nebenbei gefragt, kann man ein solches Element auch
> explizit berechnen
Man kann es aus der ZSF ablesen.
Wenn Du beispielsweise diese ZSF bekommst [mm] \vektor{3&2&1\\0&0& 1\\ 0&0&0}, [/mm] weißt Du, daß der erste und dritte der Ursprungsvektoren eine Basis des erzeugten Raumes bilden.
Der zweite der Ursprungsvektoren ist verzichtbar, seine Spalte kannst Du in Gedanken herausnehmen: [mm] \vektor{3&&1\\0&& 1\\ 0&&0}.
[/mm]
Nun überlegst Du Dir, welchen der Standardbasisvektoren Du einschieben mußt, um den Rang 3 zu erreichen : [mm] \vektor{3&&1&\blue{0}\\0&& 1&\blue{0}\\ 0&&0&\blue{1}}.
[/mm]
Also bilden der erste und dritte der Ursprungsvektoren zusammen mit [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Achtung: diese ZSF war ausgedacht, also nicht Dein Beispiel.
> oder ist man bei sowas wirklich
> schneller und einfacher bedient willkuerlich eins zu
> nehemen und das zu pruefen?
Generell ist es so, daß Du immer mit Standardbasisvektoren ergänzen kannst (nicht: mußt), das Durchrechnen mit denen geht fixer von der hand, als wenn man mit irgendwelchen krausen Gestalten ergänzt.
> Abschliessend fuer mich ist doch dann folgende Aussage
> richtig oder?:
>
> Beweisen Sie das folgenden Vektoren eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm]
> bilden. a = [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 3}[/mm] b = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1},[/mm]
> c = [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1}[/mm]
> Mein Vorgehen: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1}[/mm]
>
> Dieses (homogene) Gleichungssystem loesen.
und gucken, ob es nur die triviale Lösung gibt.
> Wenn die Aufgabe nun lautet "Finden Sie eine Basis zu den
> von a,b,c aufgespannten Vektorraum", wuerde ich folgendes
> tun:
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1}[/mm] und dieses
> System loesen.
Ich weiß nicht genau, was Du hier mit "lösen" meinst.
Bring es auf ZSF und lies anhand der Positionen der führenden Elemente eine Basis ab.
Gruß v. Angela
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