Aufgabe zu Dreiecksmatrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr,
mein Aufgabenblatt gibts ![[]](/images/popup.gif) HIER.
Ich bin gerade an der Aufgabe 4.
von a) habe ich die Implikation von i)->ii) bewiesen...wie könnte man ii)->i) beweisen? Und Teil b) soll man mit Hilfe von Teil a) lösen.
Habt ihr eine Idee? Könnt ihr mir Tipps geben?
MfG Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Fr 11.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Andi,
die kleine Aufgabe hättest du ruhig hier schreiben können...
Naja, ein paar Tipps sind schwierig zu geben, weil die Lösung ja offensichtlich ist...
Also: zur a) ii->i : die [mm] e_j [/mm] sollen die (Standard)Basisvektoren sein, in der T dargestellt ist, dann ist $ [mm] L(e_j) [/mm] $ das Bild von [mm] e_j [/mm] unter L , also gerade die j-te Spalte.
ii) besagt nun, dass die $ [mm] L(e_j) [/mm] $ als LinKombi von [mm] e_j [/mm] bis [mm] e_p [/mm] dargestellt werden kann - was sagt das also für die Koeffizienten der [mm] e_i [/mm] mit i<j in der j-ten Spalte der Darstellungsmatrix ?
zur b) Naja, erstmal steht nicht da, dass man es mit der a) machen muss, aber wenn es denn sein muss, fällt mir jetzt erstmal nur induktive Schlussweise ein:
für $ [mm] L(e_n)$ [/mm] darf das Diagonalelement nicht 0 sein, denn sonst ist der Kern nicht trivial
für $ [mm] L(e_{n-1}) [/mm] $ auch nicht, sonst ist es (nach b) ) eine LinKombi von $ [mm] L(e_n) [/mm] $ also nicht injektiv. [Bzw: argumentiere, dass man dann eine Nullzeile erzeugen kann -> Rang kleiner n -> nicht surjektiv -> nicht invertierbar]
dies mache noch für den allgemeinen i-ten Schritt, dann bist du fertig.
[man kann dies bestimmt schöner machen...]
Viele Grüße
DaMenge
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