Aufgabe zu Fibonacci-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Do 06.11.2008 | | Autor: | Majin |
| Aufgabe | Wir nennen eine Folge [mm] (x_n) [/mm] eine Fibonacci-Folge, falls für alle [mm] n\in \IN [/mm] die Gleichung
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n-1} [/mm] gilt.
Es seien [mm] (x_n), (y_n) [/mm] Fibonacci-Folgen, [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] und [mm] z_n [/mm] := [mm] \alpha x_n+ \beta y_n [/mm] für alle [mm] n\in \IN_0.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann [mm] (z_n) [/mm] ebenfalls eine Fibonacci-Folge ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Erstmal sorry das das alles so komisch aussieht ich hoffe man kann trotzdem erkennen was es heißen soll. Naja ich frage mich jetzt schon seit einiger Zeit wie man hier anfangen könnte aber komme einfach nicht drauf. Kann man hier was mit einsetzen drehen?
Naja wäre für jegliche Starthilfe sehr dankbar.
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> Wir nennen eine Folge [mm](x_n)[/mm] eine Fibonacci-Folge, falls für
> alle [mm]n\in \IN[/mm] die Gleichung
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_n[/mm] + [mm]x_{n-1}[/mm] gilt.
> Es seien [mm](x_n), (y_n)[/mm] Fibonacci-Folgen, [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm]
> und [mm]z_n[/mm] := [mm]\alpha x_n+ \beta y_n[/mm] für alle [mm]n\in \IN_0.[/mm]
>
>
> Zeigen Sie, dass dann [mm](z_n)[/mm] ebenfalls eine Fibonacci-Folge
> ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich hoffe, daß ich mit der Bearbeitung Deines Aufgabentextes weitgehend das getroffen habe, was da stehen sollt.
Um zu zeigen, daß [mm] (z_n) [/mm] auch eine Fibonaccifolge ist, mußt Du vorrechnen, daß [mm] z_{n+1}=z_n [/mm] + [mm] z_{n-1} [/mm] ist für alle n.
Wie macht man das? Nachrechnen:
[mm] z_{n+1}=\alpha x_{n+1}+ z_{n-1}\beta [/mm] y__{n+1} (nach Def. der Folge [mm] (z_n))
[/mm]
= ... Einsetzen und weiterrechnen, bis am Ende [mm] ...=z_n [/mm] + [mm] z_{n-1} [/mm] dasteht. natürlich müssen Eigenschaften von [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] verwendet werden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 06.11.2008 | | Autor: | Majin |
Vielen dank auf jeden Fall schon mal für die schnelle Antwort.
Okay ich habe mir jetzt überlegt, dass [mm] z_{n-1} [/mm] = [mm] ax_{n-1}+ by_{n-1} [/mm] sein müsste und umgekehrt eben auch [mm] z_{n+1} [/mm] eben auch mit den entsprechenden indizies, da es ja eine Fibonnacifolge ist müsste das ja gelten. Und dann habe ich die [mm] x_{n}=x_{n+1}-x_{n-1} [/mm] eingesetzt (das selbe auch für y{n} und bin dann im Endeffekt auch auf den gewünschten Term:
[mm] z_{n+1}=z_{n}+z_{n-1}
[/mm]
Ist das in dieser Form so machbar. Ich bin mir bei solchen Sachen momentan noch sehr unsicher ob meine Schritte auch wirklich valide sind.
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Hallo Marcel,
> Vielen dank auf jeden Fall schon mal für die schnelle
> Antwort.
> Okay ich habe mir jetzt überlegt, dass [mm]z_{n-1}[/mm] = [mm]ax_{n-1}+ by_{n-1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> sein müsste und umgekehrt eben auch [mm]z_{n+1}[/mm] eben auch mit
> den entsprechenden indizies, da es ja eine Fibonnacifolge
> ist müsste das ja gelten.
genau!
> Und dann habe ich die [mm]x_{n}=x_{n+1}-x_{n-1}[/mm] eingesetzt (das selbe auch für y{n}
> und bin dann im Endeffekt auch auf den gewünschten Term:
> [mm]z_{n+1}=z_{n}+z_{n-1}[/mm]
Das ist doch wunderbar, genauso sollte es sein!
> Ist das in dieser Form so machbar. Ich bin mir bei solchen
> Sachen momentan noch sehr unsicher ob meine Schritte auch
> wirklich valide sind.
Verbal hört sich das sehr richtig an, du kannst ja - quasi zur Endkontrolle - die 3 oder 4 Umformungsschritte mal posten, wenn du noch unsicher bist.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Do 06.11.2008 | | Autor: | Majin |
Also dann mach ich das doch mal wurde auch schon gefragt ob ich vielleicht eine Lösung gefunden habe.
Ist folgender Term eine Fibonaccifolge
[mm] z_{n} [/mm] := [mm] a*x_{n}+b*y_{n} [/mm] (1)
[mm] z_{n+1} [/mm] := [mm] a*x_{n+1}+b*y_{n+1} [/mm] (2)
[mm] z_{n-1} [/mm] := [mm] a*x_{n-1}+b*y_{n-1} [/mm] (3)
Nach Vorraussetzung für die Fibonaccifolge gilt für:
[mm] x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}
[/mm]
=> [mm] x_{n}=x_{x+1}-x_{n-1}
[/mm]
[mm] y_{n+1}=y_{n}+y_{n-1}
[/mm]
=> [mm] y_{n}=y_{x+1}-y_{n-1}
[/mm]
Wenn man das dann in (1) einsetzt ergibt sich:
[mm] z_{n}=a(x_{x+1}-x_{n-1})+b(y_{x+1}-y_{n-1})
[/mm]
<=> [mm] z_{n}=a*x_{x+1}+a*y_{n+1}-b*y_{x+1}-b*y_{n-1}
[/mm]
Wenn man nun (2) und (3) einsetzt ergibt sich:
[mm] z_{n}=z_{n+1}-z_{n-1}
[/mm]
[mm] <=>z_{n+1}=z_{n}+z_{n-1}
[/mm]
Was ja zu beweisen war.
Ich hoffe, dass das jetzt so annähernd korrekt ist und nochmal danke für die Starthilfen hatte wirklich ne Blockade.
Als Anhang vllt noch den Rest der Aufgaben , die sich auch alle auf die Fibonaccifolgen bezogen:
Es war nach einem [mm] \lambda [/mm] gefragt , das die Vorraussetzung [mm] x_{n}:=\lambda^{n} [/mm] erfüllte:
Zuerst hab ich mir überlegt, das wenn:
[mm] x_{n}=\lambda^{n} [/mm] gelten soll (weil es ja die Fibonaccifolgen darstellen soll), auch
[mm] x_{n-1}=\lambda^{n-1}
[/mm]
[mm] x_{n+1}=\lambda^{n+1}
[/mm]
gilt. Ausserdem hatten wir gegeben:
[mm] x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}
[/mm]
Wenn man hier jetzt die 3 Gleichungen von [mm] \lambda [/mm] einsetzt erhält man:
[mm] \lambda^{n+1}=\lambda^{n}+\lambda^{n-1}
[/mm]
Als nächstes dachte ich mir weil wir für [mm] \lambda [/mm] ja Werte haben wollten setzen wir n=1:
=> [mm] \lambda^{3}=\lambda^{2}+\lambda^{1}
[/mm]
<=> 0= [mm] \lambda*(\lambda^{2}-\lambda-1)
[/mm]
<=> [mm] 0=\lambda_{0} \wedge 0=(\lambda^{2}-\lambda-1
[/mm]
<=> [mm] 0=\lambda [/mm] _{0} [mm] \wedge \lambda_{1/2}=1/2 \pm \wurzel{5}/2
[/mm]
<=> [mm] 0=\lambda_{0} \wedge \lambda_{1}=1/2+\wurzel{5}/2 \wedge \lambda_{1}=1/2-\wurzel{5}/2
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] kann also von einer dieser 3 Formen sein.
Als letztes sollte [mm] a,b,\lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR [/mm] für [mm] x_{n}:= a*\lambda_{1}^{n} [/mm] + [mm] b*\lambda_{2}^{n} [/mm] und [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=0 [/mm] gefunden werden:
Zuerst kann man aus [mm] x_{0}=0 [/mm] eine Abhängigkeit zwischen a und b finden:
0= a + b => -a = b
Wenn man nun das [mm] \lambda_{1} [/mm] und das [mm] \lambda_{2} [/mm] aus der vorherigen Aufgabe verwendet und [mm] x_{1}=1 [/mm] verwendet ergibt sich für :
[mm] a=1/\wurzel{5} [/mm] und dadurch für [mm] b=-1/\wurzel{5}
[/mm]
Alles in allem ergibt das dann den Term:
[mm] x_{n}=1/\wurzel{5}*( (1/2+\wurzel{5}/2)^{n} [/mm] - [mm] (1/2-\wurzel{5}/2)^{n} [/mm] ))
Ich hoffe es ist übersichtlich genug .
Und eine gute Nacht allen die jetzt noch wach sind .
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> Also dann mach ich das doch mal wurde auch schon gefragt ob
> ich vielleicht eine Lösung gefunden habe.
>
Hallo,
> Ist folgender Term die eingngs definierte Folge [mm] (z_n) [/mm] eine Fibonaccifolge?
Nach Def. ist für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
>
> [mm]z_{n}[/mm] := [mm]a*x_{n}+b*y_{n}[/mm] (1)
> [mm]z_{n+1}[/mm] := [mm]a*x_{n+1}+b*y_{n+1}[/mm] (2)
> [mm]z_{n-1}[/mm] := [mm]a*x_{n-1}+b*y_{n-1}[/mm] (3).
>
> Nach Vorraussetzung
sind [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n)
[/mm]
> Fibonaccifolgen
und es
> gilt.
> [mm]x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}[/mm]
>
> => [mm]x_{n}=x_{x+1}-x_{n-1}[/mm]
>
> [mm]y_{n+1}=y_{n}+y_{n-1}[/mm]
>
> => [mm]y_{n}=y_{x+1}-y_{n-1}[/mm]
>
> Wenn man das dann in (1) einsetzt ergibt sich:
>
> [mm]z_{n}=a(x_{x+1}-x_{n-1})+b(y_{x+1}-y_{n-1})[/mm]
> <=> [mm]z_{n}=a*x_{x+1}+a*x_{n+1}-b*y_{x+1}-b*y_{n-1}[/mm]
> Wenn man nun (2) und (3) einsetzt ergibt sich:
> [mm]z_{n}=z_{n+1}-z_{n-1}[/mm]
> [mm]<=>z_{n+1}=z_{n}+z_{n-1}[/mm]
>
> Was ja zu beweisen war.
> Ich hoffe, dass das jetzt so annähernd korrekt ist und
> nochmal danke für die Starthilfen hatte wirklich ne
> Blockade.
Ja, so kannst Du das machen. (Den Umweg mit dem Subtrahieren hättest Du nicht gehen müssen, aber er ist auch nicht schädlich.)
>
> Als Anhang vllt noch den Rest der Aufgaben , die sich auch
> alle auf die Fibonaccifolgen bezogen:
>
> Es war nach einem [mm]\lambda[/mm] gefragt , das die Vorraussetzung
> [mm]x_{n}:=\lambda^{n}[/mm] erfüllte:
>
> Zuerst hab ich mir überlegt, das wenn:
> [mm]x_{n}=\lambda^{n}[/mm] gelten soll (weil es ja die
> Fibonaccifolgen darstellen soll), auch
> [mm]x_{n-1}=\lambda^{n-1}[/mm]
> [mm]x_{n+1}=\lambda^{n+1}[/mm]
> gilt. Ausserdem hatten wir gegeben:
> [mm]x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}[/mm]
> Wenn man hier jetzt die 3 Gleichungen von [mm]\lambda[/mm] einsetzt
> erhält man:
>
> [mm]\lambda^{n+1}=\lambda^{n}+\lambda^{n-1}[/mm]
>
> Als nächstes dachte ich mir weil wir für [mm]\lambda[/mm] ja Werte
> haben wollten setzen wir n=1:
Das kommt mir gewagt vor.
Aber für [mm] lambda\not=0 [/mm] folgt doch aus
[mm] \lambda^{n+1}=\lambda^{n}+\lambda^{n-1}, [/mm] daß
[mm] \lambda^2=\lambda [/mm] + 1 gilt, und das ist auch völlig unabhängig vom n.
Am Ergebnis der Rechnung ändert's aber nichts.
Gruß v. Angela
>
>
> => [mm]\lambda^{3}=\lambda^{2}+\lambda^{1}[/mm]
> <=> 0= [mm]\lambda*(\lambda^{2}-\lambda-1)[/mm]
> <=> [mm]0=\lambda_{0} \wedge 0=(\lambda^{2}-\lambda-1[/mm]
> <=>
> [mm]0=\lambda[/mm] _{0} [mm]\wedge \lambda_{1/2}=1/2 \pm \wurzel{5}/2[/mm]
>
> <=> [mm]0=\lambda_{0} \wedge \lambda_{1}=1/2+\wurzel{5}/2 \wedge \lambda_{1}=1/2-\wurzel{5}/2[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] kann also von einer dieser 3 Formen sein.
>
> Als letztes sollte [mm]a,b,\lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR[/mm] für
> [mm]x_{n}:= a*\lambda_{1}^{n}[/mm] + [mm]b*\lambda_{2}^{n}[/mm] und [mm]x_{1}=1[/mm]
> und [mm]x_{2}=0[/mm] gefunden werden:
>
> Zuerst kann man aus [mm]x_{0}=0[/mm] eine Abhängigkeit zwischen a
> und b finden:
>
> 0= a + b => -a = b
>
> Wenn man nun das [mm]\lambda_{1}[/mm] und das [mm]\lambda_{2}[/mm] aus der
> vorherigen Aufgabe verwendet und [mm]x_{1}=1[/mm] verwendet ergibt
> sich für :
> [mm]a=1/\wurzel{5}[/mm] und dadurch für [mm]b=-1/\wurzel{5}[/mm]
>
> Alles in allem ergibt das dann den Term:
>
> [mm]x_{n}=1/\wurzel{5}*( (1/2+\wurzel{5}/2)^{n}[/mm] -
> [mm](1/2-\wurzel{5}/2)^{n}[/mm] ))
>
> Ich hoffe es ist übersichtlich genug .
> Und eine gute Nacht allen die jetzt noch wach sind .
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