Aufgabe zu Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 06.12.2009 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | | Beweise, dass [mm] b^{2n+1}+1 [/mm] keine Primzahl ist für b>1 und n>0. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe weiss ich irgendwie gar nicht, wie ich am besten hier vorgehen muss...
Eine Primzahl ist ja eine Zahl p, bei der gilt: 1|p und p|p.
Eine natürliche Zahl n kann dargestellt werden als n=r*s mit r,s [mm] \in \IN [/mm] und r,s [mm] \not= [/mm] 1. Bei einer Primzahl hingegen muss r oder s 1 sein.
Damit [mm] b^{2n+1}+1 [/mm] keine Primzahl ist, müsste ich ja zeigen, dass es eine Zahl gibt, von der sie geteilt wird, aber ich weiss nicht wie ich hier herangehen muss :s
Grüße, Hanz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 So 06.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Hanz
> Beweise, dass [mm]b^{2n+1}+1[/mm] keine Primzahl ist für b>1 und
> n>0.
>
> bei dieser Aufgabe weiss ich irgendwie gar nicht, wie ich
> am besten hier vorgehen muss...
>
> Eine Primzahl ist ja eine Zahl p, bei der gilt: 1|p und
> p|p.
Das gilt fuer jede Zahl. Du meinst eher: aus $n [mm] \mid [/mm] p$ folgt $n [mm] \in \{ \pm 1, \pm p \}$.
[/mm]
> Damit [mm]b^{2n+1}+1[/mm] keine Primzahl ist, müsste ich ja zeigen,
> dass es eine Zahl gibt, von der sie geteilt wird, aber ich
> weiss nicht wie ich hier herangehen muss :s
Guck dir mal aas Polynom [mm] $X^{2 n + 1} [/mm] + 1 [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] an. Ist es irreduzibel? (Guck mal nach Nullstellen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 06.12.2009 | | Autor: | Hanz |
Hi,
> Guck dir mal aas Polynom [mm]X^{2 n + 1} + 1 \in \IZ[X][/mm] an. Ist
> es irreduzibel? (Guck mal nach Nullstellen.)
Das Polynom hat keine NST, denn [mm] X^{2 n + 1} [/mm] müsste ja quasi -1 sein, damit
[mm] X^{2 n + 1} [/mm] + 1 = 0 gilt, was aber nicht sein kann, wenn n>0 und b>1 ist.
Aber hilft mir das hier weiter? :>
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Hallo Hanz,
doch, das hilft Dir weiter. Felix hatte als Tipp das Polynom in [mm] \blue{\IZ} [/mm] genannt. Vergiss mal einen Moment deine Vorgaben zu b. Die zu n kannst Du aber getrost beibehalten: [mm] n\in\IN.
[/mm]
Gibt es dann eine Lösung für [mm] 0=x^{2n+1}+1 [/mm] ?
Wenn ja, hast Du eine Nullstelle und kannst das Polynom in zwei Faktoren zerlegen. Wie sehen die aus? Und wie sehen sie aus, wenn man das [mm] x\in\IZ [/mm] wieder durch b>1, [mm] b\in\IN [/mm] ersetzt?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 06.12.2009 | | Autor: | Hanz |
Hm, irgendwie bin ich gerade etwas unsicher, ob ich das richtig rechne:
$ [mm] 0=x^{2n+1}+1 [/mm] $ | -1
[mm] x^{2n+1} [/mm] = -1 | [mm] \wurzel[2n+1]{x}
[/mm]
x = [mm] i\wurzel[2n+1]{1}
[/mm]
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Du hast doch selbst erkannt, dass x= - 1 eine Nullstelle ist. Die komplexen Nullstellen kannst du weglassen.
Also kannst du nach dem Fundamentalsatz der Algebra das Polynom [mm] x^{2n+1}+1 [/mm] durch x+1 dividieren und bekommst ein (ganzzahliges) Polynom g(x) wieder heraus.
also ist [mm] x^{2n+1}+1 [/mm] = (x+1)*g(x)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 So 06.12.2009 | | Autor: | reverend |
Insbesondere ist damit [mm] b^{2n+1}+1 [/mm] immer durch b+1 teilbar und mithin nicht prim.
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