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| Aufgabe | Sei f(x) := sin(x)*cos(x) x [mm] \in \IR
[/mm]
Berechnen Sie f(0.01) mit einem Taylorpolynom (im Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0) auf 5 Nachkommastellen genau. |
Hi!
Ich bin etwas überrascht über meine Lösung und bin mir an der ein oder anderen Stelle nicht sicher wie geschickt ich da war, darum wäre es toll wenn mal jemand drüber schauen könnte :)
Ich soll auf 5 Nachkommastellen genau rechnen, also muss gelten:
[mm] R_{n+1} \le [/mm] 0,00001 [mm] \gdw \bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}*0,01^{n+1} \le [/mm] 0,00001
Also habe ich mir erstmal ein paar Ableitungen angesehen:
f(x) = sin(x)*cos(x)
f'(x) = [mm] cos^2(x)-sin^2(x) \Rightarrow [/mm] max = [mm] \pm1
[/mm]
f''(x) = -4*cos(x)*sin(x) [mm] \Rightarrow [/mm] max = [mm] \pm [/mm] 2, da cos(x)*sin(x) max = 0,5 (Wie kann man das Begründen?)
f'''(x) = [mm] -4(cos^2(x)-sin^2(x)) \Rightarrow [/mm] max = [mm] \pm [/mm] 4
...
Nun probiere ich für welche Ableitung das Restglied stimmt:
[mm] \bruch{f^{(2)}(y)}{(3)!}*0,01^{3} \le \bruch{2*10^-6}{3!} [/mm] (da [mm] f^{2}(y) [/mm] max 2 ist)= [mm] 3,3..3*10^{-7} \le [/mm] 0,00001
Also muss ich das Taylorpolynom für n = 2 berechnen
[mm] T_{2,0}(x) [/mm] = [mm] f(0)+f'(0)x+\bruch{f''(0)}{2}x^2 [/mm] = [mm] 0+1*0,01+0*0,01^2 [/mm] = 0,01 [mm] \Rightarrow [/mm] f(0,01) [mm] \approx [/mm] 0,01 (auf 5 Stellen genau)
So richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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