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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Aufgabe zu Untergruppen
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Aufgabe zu Untergruppen: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Fr 05.11.2010
Autor: Freaky

Aufgabe
Sei G eine Gruppe und U eine nicht leere Teilmenge. Zu zeigen: (i) <=> (ii)
(i)U ist eine Untergruppe von G
(ii)a*b^-1 ist Element von U für alle a,b aus U

(i) = > (ii) ist trivial.
Für (ii) => (i) habe ich zunächst a=b gesetzt, d.h. e ist Element von U, da a*a^-1=e und b*b^-1=e. Somit sind a, b, e aus U.
Dann habe ich a=e gesetzt, d.h. e*b^-1=b^-1 ist Element von U.
Schließlich habe ich gesagt, dass ich a und b vertauschen kann und somit auch b*a^-1 Element von U ist, was mit b=e e*a^-1=a^-1 ergibt und somit sind a, b, a^-1, b^-1 und e Element von U und U ist eine Gruppe. (Assoziativität gilt, da G eine Gruppe ist, in der Assoziativität gilt.)
Ist das so erlaubt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aufgabe zu Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Fr 05.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Freaky und erstmal herzlich [willkommenmr],

> Sei G eine Gruppe und U eine nicht leere Teilmenge. Zu
> zeigen: (i) <=> (ii)
> (i)U ist eine Untergruppe von G
> (ii)a*b^-1 ist Element von U für alle a,b aus U
> (i) = > (ii) ist trivial.
> Für (ii) => (i) habe ich zunächst a=b gesetzt, d.h. e ist
> Element von U, da a*a^-1=e und b*b^-1=e. Somit sind a, b, e
> aus U.

Ja, denn nach Vor. ist [mm]U\neq\emptyset[/mm], daher existiert überhaupt ein [mm]a\in U[/mm], damit dann nach deiner Argumentation mit (ii) dann [mm]e\in U[/mm]

> Dann habe ich a=e gesetzt, d.h. e*b^-1=b^-1 ist Element von
> U.
> Schließlich habe ich gesagt, dass ich a und b vertauschen
> kann und somit auch b*a^-1 Element von U ist, was mit b=e
> e*a^-1=a^-1 ergibt und somit sind a, b, a^-1, b^-1 und e
> Element von U

[ok]

> und U ist eine Gruppe. (Assoziativität gilt,
> da G eine Gruppe ist, in der Assoziativität gilt.)
> Ist das so erlaubt?

Wie habt ihr [mm]U[/mm] Untergruppe von Gruppe [mm]G[/mm] def.?

(1) [mm]e\in U[/mm] --> das ist gezeigt

(2) [mm]a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U[/mm] --> ist auch gezeigt

(3) [mm]a,b\in U\Rightarrow ab\in U[/mm]

Das fehlt noch, wenn ich das richtig sehe. Ansonsten ist alles in Ordnung!

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Aufgabe zu Untergruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Fr 05.11.2010
Autor: Freaky

Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Wenn ich nun in a*b^-1 für b b^-1 einsetze (ich weiß ja bereits, dass b und b^-1 aus U sind), kann ich dann durch a*(b^-1)^-1=a*b nachweisen, dass a*b Element von U ist?

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe zu Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:45 Fr 05.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Wenn ich nun in a*b^-1 für b b^-1 einsetze (ich weiß ja
> bereits, dass b und b^-1 aus U sind), kann ich dann durch
> a*(b^-1)^-1=a*b nachweisen, dass a*b Element von U ist?

Ja, genauso ist es!

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Aufgabe zu Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 06.11.2010
Autor: MatheStudi7

Hallo alle Zusammen,

Ich bin seit 2 Wochen Mathestudent und habe die gleiche Frage wie Freaky (die jetzt ja schon beantwortet wurde).

Trotzdem meine Frage:

Freaky schrieb "(i) = > (ii) ist trivial.".
Da das für mich erstmal nicht so trivial ist (erscheint?), bitte ich um eine Antwort, ob die Lösung, die ich mir ausgedacht habe, richtig ist.:

U ist Untergruppe von G [mm] \Rightarrow [/mm] a * [mm] b^{-1} \in [/mm] U, [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] U

Da U [mm] \not= \emptyset [/mm] gibts es ein u [mm] \in [/mm] U mit e*u = u.
Es gibt a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a*a^{-1} [/mm] = e, [mm] b*b^{-1} [/mm] = e [mm] \Rightarrow a^{-1}, b^{-1} \in [/mm] U.

[mm] \Rightarrow a*b^{-1} \in [/mm] U   q.e.d.

Bezug
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