Aufgabe zum Limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n^k}{a^n} [/mm] für a>1. |
Ich schätze der Grenzwert ist 0 da ich glaube, dass der Zähler für alle Möglichkeiten von k langsamer wächst als der Nenner. Für k>1 bekomme ich aber Probleme das zu zeigen. Ich habs per vollständiger Induktion probiert, komme aber im Induktionsschritt nicht weiter bei:
[mm] (n+1)^k < a^{n+1}[/mm]
weil ich keine Möglichkeit sehe, die Voraussetzung zu benutzen. Ist mein Ansatz eventuell falsch?
Bin wie immer für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Do 21.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
also erst mal die Frage, woraus ist k? Ist k eine natürliche Zahl, eine ganze oder gar komplexe?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Do 21.05.2009 | | Autor: | Nice28734 |
Das ist dem Aufgabenzettel nicht zu entnehmen und leider schon häufiger ein Problem bei den Aufgaben meiner Dozentin gewesen. Da es nicht angegeben ist, hätte ich jetzt mal mit k aus R gerechnet. Sei also k aus den Reellen Zahlen 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Do 21.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n^k}{a^n}[/mm] für
> a>1.
> Ich schätze der Grenzwert ist 0 da ich glaube, dass der
> Zähler für alle Möglichkeiten von k langsamer wächst als
> der Nenner. Für k>1 bekomme ich aber Probleme das zu
> zeigen. Ich habs per vollständiger Induktion probiert,
> komme aber im Induktionsschritt nicht weiter bei:
>
> [mm](n+1)^k < a^{n+1}[/mm]
>
> weil ich keine Möglichkeit sehe, die Voraussetzung zu
> benutzen. Ist mein Ansatz eventuell falsch?
>
> Bin wie immer für jede Hilfe dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
probier's mal durch betrachten der Funktion [mm] $\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \frac{x^k}{a^{x}}$ [/mm] und Hospital (natürlich dann hier $x [mm] \to \infty$ [/mm] streben lassen).
Wenn das nicht gemacht werden darf bzw. Du das noch nicht kennst, kannst Du auch mal den Ansatz machen:
$a > 1$ [mm] $\Rightarrow$ $a^n=(1+\epsilon)^n$ [/mm] mit einem [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Ne Idee, wie man damit weiter arbeiten kann?
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
Hospital hatten wir noc nicht. Leider hab ich keine Idee, wie ich mit deinem Ansatz weitermachen kann.
Den Einwand mit der Induktion hab ich verstanden. Gibts denn für obige Aufgaben ein Standardvorgehen?
Liebe Grüße,
Philipp.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Do 21.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Für $k=0$ ist [mm] $n^k=n^0=1$ $\forall\,n\in\IN$ [/mm] und wegen $a>1$ gilt, dass der Nenner gegen unendlich geht und der Limes somit $0$ ist.
Wie sieht es für [mm] $k\in\IZ$ [/mm] und [mm] $k\neq [/mm] 0$ mit diesem Ansatz aus:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{a^{\frac{n}{k}}}\right)^k$
[/mm]
Für [mm] $k\in\IZ$ [/mm] mit $k<0$ ist dann $-(-k)<0$ und $-k>0$. Schreibe in diesem Fall daher
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{a^{\frac{n}{k}}}\right)^k=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a^{-\frac{n}{-k}}}{n}\right)^{-k}$
[/mm]
Hier geht der Zähler gegen $0$ und der Nenner gegen unendlich. Damit ist der Grenzwert in diesem Fall $0$.
Meiner Bemerkung kannst Du entnehmen, dass Du ein solches Verhalten für [mm] $k\in\IZ$ [/mm] mit $k>0$ nicht erwarten kannst.
Gruß Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Do 21.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{n^k}{a^n}[/mm] für
> a>1.
> Ich schätze der Grenzwert ist 0 da ich glaube, dass der
> Zähler für alle Möglichkeiten von k langsamer wächst als
> der Nenner. Für k>1 bekomme ich aber Probleme das zu
> zeigen. Ich habs per vollständiger Induktion probiert,
> komme aber im Induktionsschritt nicht weiter bei:
>
> [mm](n+1)^k < a^{n+1}[/mm]
ich sehe aber auch keinen Sinn darin, einen Induktionsschritt $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$ zu machen, wenn Du $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lassen wirst.
Wenn $k [mm] \in \IN$ [/mm] (oder [mm] $\IN_0$), [/mm] dann wäre Induktion über [mm] $k\,$ [/mm] vielleicht sicher eine Ansatzmöglichkeit, aber für $k [mm] \in \IR$ [/mm] könntest Du auch hier Induktion verwerfen! (Ist Dir klar, dass für $k [mm] \in \IR$ [/mm] nicht ohne weiteres Induktion über [mm] $k\,$ [/mm] sinnvoll wäre? Denn wie wolltest Du dann eine Folgerung für alle nichtnatürlichen [mm] $k\,$ [/mm] erzielen?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Do 21.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Ich schätze der Grenzwert ist 0 da ich glaube, dass der
> Zähler für alle Möglichkeiten von k langsamer wächst als
> der Nenner. Für k>1 bekomme ich aber Probleme das zu
> zeigen. Ich habs per vollständiger Induktion probiert,
> komme aber im Induktionsschritt nicht weiter bei:
>
> [mm](n+1)^k < a^{n+1}[/mm]
>
Diese Aussage ist für $a>1$ und [mm] $k\in\IZ$ [/mm] mit $k>0$ falsch! Für $a>1$ und [mm] $k\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $k\leqslant [/mm] 0$ ist sie jedoch richtig. Ich vermute mal stark, dass Deine Dozentin [mm] $k\in\IN$ [/mm] oder [mm] $k\in\IZ$ [/mm] fordert. Dass sie [mm] $k\in\IR$ [/mm] fordert, scheint mir eher unwahrscheinlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich schätze der Grenzwert ist 0 da ich glaube, dass der
> > Zähler für alle Möglichkeiten von k langsamer wächst als
> > der Nenner. Für k>1 bekomme ich aber Probleme das zu
> > zeigen. Ich habs per vollständiger Induktion probiert,
> > komme aber im Induktionsschritt nicht weiter bei:
> >
> > [mm](n+1)^k < a^{n+1}[/mm]
> >
>
> Diese Aussage ist für [mm]a>1[/mm] und [mm]k\in\IZ[/mm] mit [mm]k>0[/mm] falsch!
wie kommst Du darauf? Das ist Unsinn, es gilt auch
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n}=0$$
[/mm]
für jedes $k [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Nach Hospital ist nämlich (stets Fall [mm] "$\infty/\infty$")
[/mm]
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{a^x}=\lim_{x \to \infty} \frac{k*x^{k-1}}{\ln(a)*a^x}=\lim_{x \to \infty} \frac{k*(k-1)*x^{k-2}}{\ln^2(a)*a^x}=\ldots=\lim_{x \to \infty} \frac{k!x^0}{\ln^k(a)a^x}=0\,,$$
[/mm]
da der Zähler im letzten Term konstant ist, der Nenner aber gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt.
P.S.:
Wenn Du das anhand eines Plottes vermutet hast, dann empfehle ich Dir, mal die Extremstelle solcher Funktionen zu berechnen. Dann siehst Du, dass Du Deinen Plot auch für genügend große [mm] $x\,$ [/mm] betrachten solltest. Hier mal das Schaubild von $x [mm] \mapsto \frac{x^3}{1,1^x}$:
[/mm]
Zunächst: [mm] $x\,$-Werte [/mm] zu klein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
-> es wird fälschlicherweise suggeriert, dass der Grenzwert [mm] $\infty$ [/mm] sei; dass die Suggerierung Unsinn ist, erkennt man, wenn man genügend große [mm] $x\,$ [/mm] betrachtet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
P.S.:
Man kann auch anders argumentieren: Ist [mm] $a=1+\epsilon$ [/mm] mit einem [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so gilt für $n [mm] \ge [/mm] k+2$
[mm] $$\left|\frac{n^k}{a^n}\right|=\frac{n^k}{a^n}=\frac{n^k}{\sum_{m=0}^n{n \choose m} \epsilon^m} \le \frac{n^k}{{n \choose k+1}\epsilon^{k+1}}=\frac{n^k}{\frac{n*(n-1)*\ldots*(n-k)}{k!}*\epsilon^{k+1}}=:\frac{1}{\epsilon^{k+1}}*\frac{n^k}{P(n)}=const*\frac{n^k}{P(n)}\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $P(n)=\frac{1}{k!}*(n^{k+1}+\ldots+a_1n^1+\underbrace{a_0}_{\text{hier:} =0})$ [/mm] gilt [mm] $\frac{n^k}{P(n)} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] und damit auch [mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n}=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Tut mir leid, da war ich vermutlich zu voreilig. Du hast natuerlich recht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Tut mir leid, da war ich vermutlich zu voreilig.
kein Thema.
> Du hast natuerlich recht.
Ist denn meine Vermutung richtig, dass Du Dich von (ein paar?) Plots in die Irre hast führen lassen? Denn ich wollte hier auch nochmal drauf aufmerksam machen, dass man beim Betrachten von Schaubildern auch in die Irre geführt werden kann (ist ja nicht so, dass mir das gleiche oder vergleichbares noch nie passiert wäre) und man somit auch nochmal ein Argument hat, warum vieles in der Mathematik eben formalisiert wird, und nicht immer einfach Argumente wie 'Man sieht in offensichtlicher Weise, dass... gilt...' verwendet werden
Gruß,
Marcel
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