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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Do 29.10.2009 | | Autor: | AlexW22 |
| Aufgabe | Aufgabe1:
Gegeben seien die Mengen M1;M2;N [mm] \subset [/mm] X
und es gelte
[mm] N\cap M_{1} [/mm] = N [mm] \cap M_{2} [/mm] und
[mm] N\cup M_{1} [/mm] = N [mm] \cup M_{2}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] M_{1} [/mm] = [mm] M_{2}
[/mm]
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Guten Tag,
ich bin auf dieses Forum gestossen und dachte mir, da hier meistens die Sachen eigentlich sehr gut erklärt werde, stelle ich mal meine Fragen, hier auch rein.
Zu Aufgabe 1:
Ich hab mir schon Gedanken gemacht, komme aber nicht ganz weiter. Ich bin nun soweit gekommen:
$ [mm] N\cap M_{1} [/mm] $ [mm] \subset [/mm] N [mm] \subset [/mm] N $ [mm] \cup M_{1} [/mm] $
$ [mm] N\cap M_{2} [/mm] $ [mm] \subset [/mm] N [mm] \subset [/mm] N $ [mm] \cup M_{2} [/mm] $
$ [mm] N\cap M_{1} [/mm] $ [mm] \subset M_{1} \subset [/mm] N $ [mm] \cap M_{1} [/mm] $
$ [mm] N\cup M_{2} [/mm] $ [mm] \subset M_{2} \subset [/mm] N $ [mm] \cup M_{2} [/mm] $
darf ich jetzt so argumentieren? weil aus den 2 oberen sehen wir dass Menge N so eine Beziehung hat zu den Mengen $ [mm] N\cap M_{1} [/mm] $ und $ N [mm] \cup M_{1} [/mm] $ und $ N [mm] \cap M_{2} [/mm] $ und $ N [mm] \cup M_{2} [/mm] $ so ergibt sich, dass [mm] M_{1} [/mm] = [mm] M_{2} [/mm]
Eigentlich ist das ersichtlich aus dem ganzen, aber wie kann man sowas beweisen? Ist mein Ansatz überhaupt richtig so?
Danke im Voraus für eure Hilfe.
MfG Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe1:
> Gegeben seien die Mengen M1;M2;N [mm]\subset[/mm] X
> und es gelte
> [mm]N\cap M_{1}[/mm] = N [mm]\cap M_{2}[/mm] und
> [mm]N\cup M_{1}[/mm] = N [mm]\cup M_{2}[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]M_{1}[/mm] =
> [mm]M_{2}[/mm]
>
>
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> Guten Tag,
>
> ich bin auf dieses Forum gestossen und dachte mir, da hier
> meistens die Sachen eigentlich sehr gut erklärt werde,
> stelle ich mal meine Fragen, hier auch rein.
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> Ich hab mir schon Gedanken gemacht, komme aber nicht ganz
> weiter. Ich bin nun soweit gekommen:
> [mm]N\cap M_{1}[/mm] [mm]\subset[/mm] N [mm]\subset[/mm] N [mm]\cup M_{1}[/mm]
> [mm]N\cap M_{2}[/mm]
> [mm]\subset[/mm] N [mm]\subset[/mm] N [mm]\cup M_{2}[/mm]
>
> [mm]N\cap M_{1}[/mm] [mm]\subset M_{1} \subset[/mm] N [mm]\cap M_{1}[/mm]
Hallo,
[mm] M_{1} \subset[/mm] [/mm] N [mm]\cap M_{1}[/mm] stimmt sicher i.a. nicht.
Es ist doch normalerweise die Menge "größer" als Ihr Schnitt mit irgendwas.
Du hast hier also Mengen, für die gilt
> [mm]N\cap M_{1}[/mm] = N [mm]\cap M_{2}[/mm] und
> [mm]N\cup M_{1}[/mm] = N [mm]\cup M_{2}[/mm],
und Du sollst zeigen, daß es in diesem Fall nicht anders sein kann, als daß [mm] M_1=M_2 [/mm] ist.
Ich würde hier einen beweis per Widerspruch versuchen.
Nimm an, daß
> [mm]N\cap M_{1}[/mm] = N [mm]\cap M_{2}[/mm] und
> [mm]N\cup M_{1}[/mm] = N [mm]\cup M_{2}[/mm]
gilt,
und daß [mm] M_1\not=M_2 [/mm] ist.
Dann gibt es ein Element, welches nicht gleichzeitig in [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] liegt.
Sei oBdA [mm] m\in M_1 [/mm] und [mm] M\not\in M_2.
[/mm]
Nun mußt Du hieraus Deine Schlüsse ziehen und einen Widerspruch finden.
Vielleicht ist es hilfreich, die zwei möglichen Lagen von m getrennt zu untersuchen:
Fall 1: m [mm] \in M_1 [/mm] und [mm] m\not\in [/mm] N
Fall2: [mm] m\in M_1 [/mm] und [mm] m\in [/mm] N.
Probier mal ein bißchen. (Ich habe bei solchen Aufgaben auf einem geheimen Schmierzettel immer ein Venn-Diagramm (=Mengenballons), welches mir gut hilft.)
Gruß v. Angela
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