Aufgaben zu Potenzmengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 21.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch?
(a) {a} ∈ P({a}) ; (b) {a} ⊂ P({{a}}); (c) ∅ ⊂ P(P(∅)); (d) ∅ ∈ P(P(∅))
Dabei bezeichnet P(A) die Potenzmenge einer Menge A. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme leider bei den oben genannten Aufgaben nicht weiter. die a) habe ich gelöst, die Aussage müsste wahr sein, da P{a} ja {0,{a}} enthält, also ist {a} Teilmenge davon.
bei b),c),d) weiss ich leider gar nichts.
Vielleicht kann mir bitte jemand dabei behilflich sein?
Vielen Dank!
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> Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch?
> (a) {a} ∈ P({a}) ; (b) {a} ⊂ P({{a}}); (c) ∅ ⊂
> P(P(∅)); (d) ∅ ∈ P(P(∅))
> Dabei bezeichnet P(A) die Potenzmenge einer Menge A.
> Ich komme leider bei den oben genannten Aufgaben nicht
> weiter. die a) habe ich gelöst, die Aussage müsste wahr
> sein, da P{a} ja {0,{a}} enthält,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist [mm] P(\{a\})=\{\emptyset, \{a\}\}.
[/mm]
Wahrscheinlich meintest Du das auch.
> also ist {a} Teilmenge
> davon.
Nein. Die Menge [mm] \{a\} [/mm] ist ein Element der Potenzmenge von [mm] \{a\}.
[/mm]
Also ist die Aussage (a) richtig.
> bei b),c),d) weiss ich leider gar nichts.
Dann gehen wir es mal nach und nach an.
zu b)
Welche Elemente enthält denn P({{a}}), also die Potenzmenge von [mm] \{\{a\}\}?
[/mm]
Solche Aufgaben können einen wirklich kirre machen.
Wir verwenden vorübergehend mal eine Abkürzung und sagen [mm] B:=\{a\}.
[/mm]
Dann ist [mm] P({{a}})=P(\{B\}), [/mm] und die Elemente dieser Menge kannst Du ja schonmal aufzählen: [mm] P({{a}})=P(\{B\})= [/mm] ...
Vorgeschlagen ist, daß [mm] \{a\} [/mm] eine Teilmenge von P({{a}}) ist.
Wenn das so ist, dann ist a eins der Elemente von P({{a}}). Ist das so?
zu c)
Bedenke: die leere Menge ist doch Teilmenge einer jeden Menge.
zu d)
Der fleißige Weg:
Fang damit an, die Potenzmenge von [mm] \emptyset, [/mm] also die Menge, welche sämtliche Teilmengen von [mm] \emptyset [/mm] enthält, aufzuschreiben.
Wieviele Elemente enthält sie?
Um nicht nervös zu werden, könntest Du die Elemente von [mm] P(\emptyset) [/mm] mit den Nämen a,b,c,d,e,... versehen.
Um [mm] P(P(\emptyset)) [/mm] aufzustellen, müßtest Du nun alle Teilmengen von [mm] P(\emptyset) [/mm] aufschreiben und nachgucken, ob [mm] \emptyset [/mm] dabei ist.
Der kluge Weg:
die Potenzmenge einer Menge beinhaltet sämtliche Teilmengen der fraglichen Menge. Es gibt eine Menge, welche Teilmenge einer jeden Menge ist...
Gruß v. Angela
>
> Vielleicht kann mir bitte jemand dabei behilflich sein?
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 21.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Vielen Dank für die schnelle Antwort 
Also bei a) ist nur das angegeben (a) {a} ∈ P({a}). Bestimmt um zu verwirren. Na klar muss man dann alle Elemente dieser Potenzmenge aufschreiben um zur Lösung zu kommen.
also bei b)
Die Potenzmenge von $ [mm] P(\{B\}) [/mm] $ wäre dann doch {∅,{a},{{a}}}. Oder darf ich das so nicht sehen? Dann wäre die Aussage auch wahr.
zu c)
ja genau das hatte ich auch im Kopf..mich hatte nur das Potenzmenge von Potenzmenge abgeschreckt;)
also ist diese Aussage auch wahr.
d)
die Potenzmenge der leeren Menge ist die leere Menge.
Also kommt dann die leere Menge als Teilmenge bei der Bildung der Potenzmenge der Potenzmenge der leeren Menge dazu. Also ist die leere Menge Teilmenge der dieser doppelten Potenzmenge.
P(P({∅,{∅}})
also Aussage auch war.
War das so korrekt?
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Hallo Toni85,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort
>
> Also bei a) ist nur das angegeben (a) {a} ∈ P({a}).
> Bestimmt um zu verwirren. Na klar muss man dann alle
> Elemente dieser Potenzmenge aufschreiben um zur Lösung zu
> kommen.
>
> also bei b)
> Die Potenzmenge von [mm]P(\{B\})[/mm] wäre dann doch
> {∅,{a},{{a}}}. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Oder darf ich das so nicht sehen? Dann
> wäre die Aussage auch wahr.
Wieso sollte [mm]\{a\}\in P(\{B\})[/mm] sein?
Es ist [mm]\{a\}\in\{\{a\}\}[/mm], aber nicht [mm]\{a\}\subset\{\{a\}\}[/mm]
Es ist [mm]P(\{B\})=\{\emptyset,\{B\}\}=\{\emptyset,\{\{a\}\}\}[/mm]
Also?
> zu c)
> ja genau das hatte ich auch im Kopf..mich hatte nur das
> Potenzmenge von Potenzmenge abgeschreckt;)
> also ist diese Aussage auch wahr.
Ja!
>
> d)
> die Potenzmenge der leeren Menge ist die leere Menge.
Edit: Es ist die Potenzmenge der leeren Menge die Menge, die die leere Menge enthält.
Die Potenzmenge der leeren Menge enthält genau ein Element, nämlich die leere Menge
Also [mm] $P(\emptyset)=\{\emptyset\}$
[/mm]
Edit Ende
> Also kommt dann die leere Menge als Teilmenge bei der
> Bildung der Potenzmenge der Potenzmenge der leeren Menge
> dazu. Also ist die leere Menge Teilmenge der dieser
> doppelten Potenzmenge.
> P(P({∅,{∅}})
Die leere Menge ist in jeder Potenzmenge, denn sie ist Teilmenge jeder Menge [mm]M[/mm] , also Element von [mm]P(M)[/mm] - egal, welche Menge [mm]M[/mm] ist - hier [mm]M=P(\emptyset)[/mm]
Deine Argumentation ist (für mich) verwirrend, schreibe doch [mm]P(P(\emptyset))[/mm] mal konkret auf!
> also Aussage auch war.
Das stimmt im Ergebnis
>
> War das so korrekt?
>
Jo
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 21.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Danke für die Antwort!
stimmt dann ist b) nicht wahr, weil {a} nicht als Element in dieser Menge enthalten ist. also {a} kein Element von P({{a}})
und bei d) soll man doch die Potenzmenge der Potenzmenge von der leeren Menge bilden. also wie oben angegeben P(P({∅})).Laut wikipedia ist die Potenzmenge der leeren Menge die leere Menge: Daraus folgt, dass die Potenzmenge der leeren Menge genau ein Element enthält, nämlich die leere Menge selbst: P(∅) = {∅}. Und wenn ich nun die Potenzmenge der Potenzmenge wie oben angegeben bilde erhalte ich: P(P({∅})) = {∅,{∅}}. Oder sind dann noch mehr Elemente enthalten?
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Hallo nochmal,
> Danke für die Antwort!
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> stimmt dann ist b) nicht wahr, weil {a} nicht als Element
> in dieser Menge enthalten ist. also {a} kein Element von
> P({{a}})
Jo, aber du sollst ja entscheiden, ob [mm] $\{a\}$ [/mm] eine TEILMENGE von [mm] $P(\{\{a\}\})$ [/mm] ist ...
Ist es das?
>
> und bei d) soll man doch die Potenzmenge der Potenzmenge
> von der leeren Menge bilden. also wie oben angegeben
> P(P({∅})).Laut wikipedia ist die Potenzmenge der leeren
> Menge die leere Menge:
Nein, die Menge, die die leere Menge enthält!
Ja, da habe ich mich oben auch verwirren lassen - sorry.
Ich editiere das gleich mal ...
> Daraus folgt, dass die Potenzmenge
> der leeren Menge genau ein Element enthält, nämlich die
> leere Menge selbst: P(∅) = {∅}.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wenn ich nun die
> Potenzmenge der Potenzmenge wie oben angegeben bilde
> erhalte ich: P(P({∅})) = {∅,{∅}}. Oder sind dann noch
> mehr Elemente enthalten?
Nein, das ist absolut richtig.
Wenn du eine Menge [mm]M[/mm] mit [mm]m[/mm] Elementen hast, so hat [mm]P(M)[/mm] dann [mm]2^m[/mm] Elemente. Das kann als Kontrolle dienen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 21.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Jaa stimmt, ich soll entscheiden obs ne Teilmenge ist und nicht obs Element der Menge ist.
Es ist dann keine Teilmenge von {{a}}, da {a} nicht als Teilmenge in der Potenzmenge von {{a}} existiert.
also Aussage nicht war, richtig so?
Dann wäre ja alles geklärt.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe, nun ist es mir klar.
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> Jaa stimmt, ich soll entscheiden obs ne Teilmenge ist und
> nicht obs Element der Menge ist.
> Es ist dann keine Teilmenge von {{a}}, da {a} nicht als
> Teilmenge in der Potenzmenge von {{a}} existiert.
> also Aussage nicht war, richtig so?
Hallo,
daß die Aussage b) nicht stimmt, ist richtig, aber Deine "Erklärung" ist kraus...
Wäre [mm] \{a\} [/mm] eine Teilmenge der Potenzmenge, dann müßte a ein Element der Potenzmenge sein.
Es wurde bereits festgestellt, daß
[mm] P(\{\{a\}\})=\{\emptyset, \{\{a\}\}\}.
[/mm]
Wieviele Elemente hat diese Menge?
Ich fänd's nicht unsinnig, wenn Du nun mal sämtliche Teilmengen dieser Menge aufschreibst, denn ich habe den Eindrück, daß Du den Unterschied zwischen Element und Teilmenge noch nicht verstanden hast.
Gruß v. Angela
>
> Dann wäre ja alles geklärt.
>
> Vielen Dank für die schnelle Hilfe, nun ist es mir klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Ja anscheinend hab ich den Unterschied nicht verstanden...
Die Menge hat zwei Elemente a und ∅? Und ist dann in Teilmengen auf geteilt oder wie muss ich das verstehen?
Die Ausgangsmenge hab ich ja leider nicht. Weil eigentlich müsste ja dann {a} auch als Element in der Menge existieren, aber ist natürlich dann keine Teilmenge von P({{a}}).
Vielleicht kannst du mir ja das genauer erklären, danke
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> Ja anscheinend hab ich den Unterschied nicht verstanden...
>
> Die Menge hat zwei Elemente a und ∅?
Hallo,
Du redest gewiß über [mm] P(\{\{a\}\}). [/mm] (Immer dazuschreiben!).
Es ist [mm]P(\{\{a\}\})=\red{\{}\blue{\emptyset},\green{\{\{a\}\}}\red{\}}[/mm]
Die Elemente sind das, was in den aäßeren Mengenklammern aufgezählt wird, also [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \{\{a\}\}.
[/mm]
> Und ist dann in
> Teilmengen auf geteilt oder wie muss ich das verstehen?
Ich weiß nicht, was Du meinst.
Nun zu den Teilmengen von [mm]P(\{\{a\}\})=\red{\{}\blue{\emptyset},\green{\{\{a\}\}}\red{\}}[/mm]:
Teilmengen einer Menge M sind Mengen, deren Elemente alle in der M liegen. Schau Dir in Deiner Mitschrift die entsprechende Definition an.
Da Deine Menge [mm]P(\{\{a\}\})=\red{\{}\blue{\emptyset},\green{\{\{a\}\}}\red{\}}[/mm] zwei Elemente enthält, kann es nur null-,ein- und zweielementige Teilmengen geben.
Die Teilmengen von [mm]P(\{\{a\}\})=\red{\{}\blue{\emptyset},\green{\{\{a\}\}}\red{\}}[/mm] sind [mm] \emptyset, \{\blue{\emptyset}\}, \{\green{\{\{a\}\}}\}, \{\blue{\emptyset},\green{\{\{a\}\}}\}.
[/mm]
Überleg' Dir genau, daß das so ist. Die Entscheidung, ob [mm] \{a\} [/mm] eine Teilmenge von [mm] P(\{\{a\}\}) [/mm] ist, dürfte leicht fallen.
> Die Ausgangsmenge hab ich ja leider nicht.
Die Ausgangsmenge wovon? Was meinst Du? was fehlt Dir?
> Weil eigentlich
> müsste ja dann {a} auch als Element in der Menge
> existieren,
In welcher?
> aber ist natürlich dann keine Teilmenge von
> P({{a}}).
Jo.
>
> Vielleicht kannst du mir ja das genauer erklären, danke
Ich weiß nicht, ob es mir gelungen ist.
Die Definitionen von Teilmenge, Potenzmenge , Schnittmenge etc. hast Du drauf?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Vielen Dank für die tolle Erklärung Angela.
Nun ist mir das alles ein wenig klarer. Und ich habe gelernt, das Teilmenge und Element einer Menge nicht dasselbe ist.
Natürlich ist {a} nicht als Teilmenge in $ [mm] P(\{\{a\}\})=\red{\{}\blue{\emptyset},\green{\{\{a\}\}}\red{\}} [/mm] $ enthalten und somit ist die Aussage falsch.
ich meinte {a} enthalten in P({{a}}), aber hat sich ja nun geklärt, da ich nun weiß wie ich Teilmengen bilde und was die Elemente sind.
Durch deine Erklärungen sind die anderen Fragen nun überflüssig geworden vielen Dank.
Ja die Definitionen von Teilmenge usw müsste ich beherrschen.
Danke
Gruß Tobi
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> Es ist [mm]P(\emptyset)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}[/mm]
>
sicher?^^
[mm]P(\emptyset) = \{\emptyset\}[/mm]
[mm]\{\emptyset,\{\emptyset\}\} = P(\{\emptyset\}) = P(P(\emptyset))[/mm]
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Hoppa!
Jo, gut aufgepasst, ist schon editiert ...
Ja, die Verwirrung steigt ...
Danke fürs Aufpassen!
Gruß
schachuzipus
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