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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Di 09.12.2008 | | Autor: | PeterR |
| Aufgabe | In einem kartes. Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung 0 sind die Punkte A(-3;-2;-3), B(3;-4;-3), C(-1;4;-3) und S(1;0;4,5) Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S.
a)Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Stellen Sie diese Pyramide in einem kart. Koordinatensys. dar. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
b)Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D, so dass das Viereck mit den Eckpunkten A,B,C,D ein Quadrat wird. |
Abend!
Das ganze ist ne Aufgabe einer früheren Abiprüfung und wir sollen sie lösen (gibt noch zwei andere Teilaufgaben, aber damit hab ich noch nicht angefangen).
zu a)
Gleichschenklig, da
[mm] |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|= \wurzel{40}
[/mm]
rechtwinklig, da alpha 90 grad ist. Hab die Rechnungen jetzt mal net mit aufgeschrieben, da die Lösungen eig. stimmen müssten, oder?
Darstellung in Koordinatensystem kann ich ja jetzt nich machen. ^^
Bleibt noch das Volumen. Hier eck ich schon an. Wenn ich mich nicht irre, muss ich alle drei Seitenlängern miteinander multiplitzieren (davon 1/3) und das ganze mal Höhe. Also: [mm] \bruch{1}{2}(a²*b)*h
[/mm]
Falls die Formel richtig ist: Wie ermittle ich h? Ich könnte vielleicht den Mittelpunkt von ABC errechnen und dann den Abstand zu S, aber das ist etwas arg umständlich und geht wohl auch nur, wenn alle drei Seiten gleich lang wären...
Was muss ich also machen?
b)Leider hab ich hier gar keine Idee, wie ich das errechnen kann. Durch abzählen bin ich auf (6;3;-3) gekommen. Weiß jetzt nicht, ob das richtig ist, aber mir wäre es ohnehin lieber zu wissen, wie ich das rechnerisch löse. Muss ich das irgendwie mit Parameterform und Einsetzen machen, oder wie funktioniert das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Di 09.12.2008 | | Autor: | Schloss |
Das Volumen einer Pyramide kann man auch mit dem Spatprodukt berechnen [mm] V=\bruch{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AS}}{6}
[/mm]
Sonst könntest du die Formel
Grundfläche *h/3 nehmen
Die Höhe kannst du ausrechnen indem du den Abstand des Punktes S zum zur Ebene ABC ausrechnest, am besten mit den Normalenvektor
b)
da brauchst du eigentlich nur [mm] \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AC} [/mm] ausrechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Di 09.12.2008 | | Autor: | PeterR |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für jeden Wert r ∈ R der Punkt Qr(-3+3r | -2-r | -3) auf der Geraden g durch die Punkte A und B liegt.
Ermitteln Sie den Wert r, für den die Strecke senkrecht zur Geraden g liegt.
Geben Sie alle Werte r an, für die der Punkt Qr auf der Kante AB liegt. |
Erstmal danke!
Das Volumen hab ich jetzt über V=1/3*Ag*h ausgerechnet. h müsste 7,5 sein, also komm ich auf ein Volumen von 50.
b) Doch so simpel?! Dann müsste D(5,2,-3) sein.
Aufgabe c hab ich schon gelöst, fehlt nur noch d. Aufgabe steht oben.
Also erstmal würde ich da ne Parametergleichung aufstellen:
[mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -3}+r\vektor{3 \\ -2 \\ 0} [/mm] aber das wars dann auch schon. Ich weiß nicht mal, wie ich auf die Gerade g kommen soll. Oder muss ich die gar nicht berechnen? Ich komm mit der Aufgabe gar net klar... :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Di 09.12.2008 | | Autor: | PeterR |
Ok, den ersten Teil von d hab ich kapiert. Ich muss einfach nur die Koordinaten der Punkte A und B einsetzen und dann r ermitteln. Für A wäre das 0 und für B 2.
Für die anderen zwei Unterpunkte von dfehlen mir aber jegliche Ideen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mi 10.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast du schon die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB} [/mm] bestimmt?
Wenn nicht: [mm] g:\vec{x}=\vektor{-3\\-2\\-3}+\lambda*\vektor{6\\6\\0}
[/mm]
Und jetzt zeige, dass [mm] q_{r} [/mm] auf dieser Geraden liegt, also
[mm] \vec{q_{r}}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB}
[/mm]
[mm] \gdw\vektor{-3+3r\\-2-r\\-3}=\vektor{-3\\-2\\-3}+\lambda*\vektor{6\\6\\0}
[/mm]
Das ergibt folgendes GLS
[mm] \vmat{-3-3r=-3+6\lambda\\-2-r=-2+6\lambda\\-3=-3}
[/mm]
Jetzt löse diese LGS mal, aus dem Ergebnis kannst du dann deine Schlüsse ziehen.
Damit q auf der Kante AB liegt, muss gelten [mm] 0\le\lambda\le1
[/mm]
Mit diesen Werten "Gestaucht", läuft man "nur" auf der Kante AB entlang, wenn man [mm] \vec{q}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB} [/mm] berechnet.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Di 09.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> In einem kartes. Koordinatensystem mit dem
> Koordinatenursprung 0 sind die Punkte A(-3;-2;-3),
> B(3;-4;-3), C(-1;4;-3) und S(1;0;4,5) Eckpunkte einer
> dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S.
>
> a)Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und
> rechtwinklig ist. Stellen Sie diese Pyramide in einem kart.
> Koordinatensys. dar. Berechnen Sie das Volumen dieser
> Pyramide.
>
> b)Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D, so dass das
> Viereck mit den Eckpunkten A,B,C,D ein Quadrat wird.
> Abend!
>
> Das ganze ist ne Aufgabe einer früheren Abiprüfung und wir
> sollen sie lösen (gibt noch zwei andere Teilaufgaben, aber
> damit hab ich noch nicht angefangen).
>
> zu a)
> Gleichschenklig, da
> [mm]|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|= \wurzel{40}[/mm]
>
> rechtwinklig, da alpha 90 grad ist. Hab die Rechnungen
> jetzt mal net mit aufgeschrieben, da die Lösungen eig.
> stimmen müssten, oder?
>
> Darstellung in Koordinatensystem kann ich ja jetzt nich
> machen. ^^
die Rechnungen bis hier sind korrekt - hatte "Schloss" sicher nur vergessen zu erwähnen 
Liebe Grüße
Herby
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