Aufgabenblatt 7.1 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Es sei G eine Gruppe und N sei eine normale Untergruppe von G. Zeigen Sie, dass G/N genau dann abelsch ist, wenn [G, G] < N. Insbesondere ist G/[G, G] abelsch. |
| Aufgabe 2 | | Es sei G eine einfache, nicht-abelsche Gruppe und A sei eine abelsche Gruppe. Beweisen Sie, dass alle Homomorphismen f : G → A trivial sind. |
zu Aufgabe 1) Mir fehlt noch das grundlegende Verständnis was eine "normale Untergruppe" ist. Könnte mir das jemand erklären und mir helfen einen Ansatz für diese Aufgabe zu finden ? Abelsch ist klar: das bedeutet a*b = b*a (wenn die Verknüpfung die Multiplikation ist).
zu Aufgabe 2) Hier fehlt mir auch jeglicher Ansatz, den ich brauche, um die Aufgabe zu lösen. Homomorphismus ist klar, dass bedeutet f(x+y)/f(x*y) = f(x) + f(y)/f(x)*f(y). Über eine Erklärung und den Ansatz zu dieser Aufgabe wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Fr 01.01.2021 | | Autor: | statler |
Hi!
> Es sei G eine Gruppe und N sei eine normale Untergruppe von
> G. Zeigen Sie, dass G/N genau dann abelsch ist, wenn [G, G]
> < N. Insbesondere ist G/[G, G] abelsch.
> Es sei G eine einfache, nicht-abelsche Gruppe und A sei
> eine abelsche Gruppe. Beweisen Sie, dass alle
> Homomorphismen f : G → A trivial sind.
> zu Aufgabe 1) Mir fehlt noch das grundlegende Verständnis
> was eine "normale Untergruppe" ist. Könnte mir das jemand
> erklären und mir helfen einen Ansatz für diese Aufgabe zu
> finden ? Abelsch ist klar: das bedeutet a*b = b*a (wenn die
> Verknüpfung die Multiplikation ist).
Normal bedeutet, daß aN = Na für alle a [mm] $\in$ [/mm] G ist. Wenn G/N abelsch ist, dann ist aN [mm] $\cdot$ [/mm] bN = bN [mm] $\cdot$ [/mm] aN, also abN = baN, also [mm] a^{-1}b^{-1}abN [/mm] = N, und das ist genau das, was du brauchst.
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> zu Aufgabe 2) Hier fehlt mir auch jeglicher Ansatz, den ich
> brauche, um die Aufgabe zu lösen. Homomorphismus ist klar,
> dass bedeutet f(x+y)/f(x*y) = f(x) + f(y)/f(x)*f(y). Über
> eine Erklärung und den Ansatz zu dieser Aufgabe wäre ich
> sehr dankbar.
Wenn G keine Normalteiler hat, ist jeder Homomrphismus injektiv oder trivial. Injektiv kann er hier nicht sein, da A abelsch ist und G nicht, also ist er trivial.
Gruß D
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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das hilft mir auf jeden Fall weiter.
Gruß
Alex
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