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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Di 30.03.2010 | | Autor: | Chrisoff |
| Aufgabe | | Geben sie die Ableitung von [mm] (7+x)^7 [/mm] wieder. |
[mm] (7+x)^7
[/mm]
Kettenregel und Produktregel...
7*(7+x)*1 = 49+7x
Ist das richtig?
Es kommt mir falsch vor, weil ich von ^7 auf ^1 komme...
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 30.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Geben sie die Ableitung von [mm](7+x)^7[/mm] wieder.
> [mm](7+x)^7[/mm]
>
> Kettenregel und Produktregel...
Kettenregel ist richtig, hast Du auch gemacht (mit Fehler =), aber wieso Produktregel?
>
> 7*(7+x)*1 = 49+7x
>
> Ist das richtig?
> Es kommt mir falsch vor, weil ich von ^7 auf ^1 komme...
Ein gutes Gefühl ist hilfreich =)
Zur Kettenregel: Wir haben [mm] $(7+x)^7=f(g(x))$
[/mm]
$g(x)=7+x$, [mm] $f(x)=x^7$
[/mm]
[mm] $\left((7+x)^7\right)'=(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)$
[/mm]
$g'(x)=1$ ist richtig, aber wie bist Du auf
$f'(x)=7x$ gekommen? =)
[mm] $f(x)=x^n\ \Rightarrow\ f'(x)=n*x^{\mathbf{n-1}}$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Di 30.03.2010 | | Autor: | Chrisoff |
Hi,
> Geben sie die Ableitung von $ [mm] (7+x)^7 [/mm] $ wieder.
> $ [mm] (7+x)^7 [/mm] $
>
> Kettenregel und Produktregel...
Kettenregel ist richtig, hast Du auch gemacht (mit Fehler =), aber wieso Produktregel?
>
> 7*(7+x)*1 = 49+7x
>
> Ist das richtig?
> Es kommt mir falsch vor, weil ich von ^7 auf ^1 komme...
Ein gutes Gefühl ist hilfreich =)
Zur Kettenregel: Wir haben $ [mm] (7+x)^7=f(g(x)) [/mm] $
$ g(x)=7+x $, $ [mm] f(x)=x^7 [/mm] $
$ [mm] \left((7+x)^7\right)'=(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot{}g'(x) [/mm] $
$ g'(x)=1 $ ist richtig, aber wie bist Du auf
$ f'(x)=7x $ gekommen? =)
Weil ich 7*(7+x)*1
7*7=49
7*x=7x
$ [mm] f(x)=x^n\ \Rightarrow\ f'(x)=n\cdot{}x^{\mathbf{n-1}} [/mm] $
ciao
Stefan
Also: (neuer Versuch)
[mm] 7x^6*(7+x)*1
[/mm]
= [mm] 49x^6+7x^7
[/mm]
Stimmt es nun?
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Hallo,
> > Geben sie die Ableitung von [mm](7+x)^7[/mm] wieder.
> > [mm](7+x)^7[/mm]
> Also: (neuer Versuch)
>
> [mm]7x^6*(7+x)*1[/mm]
> = [mm]49x^6+7x^7[/mm]
>
> Stimmt es nun?
Leider nicht. Du hast das mit der Kettenregel noch nicht ganz verstanden.
Du hast eine Funktion der Form $f(g(x))$ vorliegen.
Bei dir ist die innere Funktion $g(x) = x+7$, die äußere Funktion $f(x) = [mm] x^{7}$.
[/mm]
Insgesamt: $f(g(x)) = [mm] (x+7)^{7}$.
[/mm]
------
Wenn ich dir f(x) = [mm] x^{2} [/mm] und g(x) = [mm] x^{2}-1 [/mm] gebe, was ist dann $f(g(x))$?
Das musst du beherrschen, um die Kettenregel anwenden zu können!
Die Lösung ist:
g(x) ist die innere Funktion. Wenn wir f(g(x)) bilden, setzen wir für das x in f(x) einfach g(x) ein. Alle x in f(x) werden also zu g(x) !!
$f(g(x)) = [mm] (g(x))^{2} [/mm] = [mm] (x^{2}-1)^{2}$
[/mm]
Klar?
------
Die Kettenregel lautet:
[mm] $\Big[f(g(x))\Big]' [/mm] = [mm] f'(\quad\quad g(x)\quad \quad)*g'(x)$.
[/mm]
Der erste Term bedeutet: Du leitest zunächst die Äußere Funktion f einfach ab, ohne an g(x) zu denken!
$f'(x) = [mm] (x^{7})' [/mm] = [mm] 7*x^{6}$
[/mm]
Danach machst du nun wieder das, was ich oben erklärt habe: Um f'(g(x)) zu bilden, setzen wir für alle x in f'(x) einfach g(x) ein:
$f'(g(x)) = [mm] 7*(g(x))^{6} [/mm] = [mm] 7*(x+7)^{6}$.
[/mm]
Damit ist der komplizierte Term geschafft. Es fehlt noch der zweite Faktor g'(x), dann hast du $f(g(x)) = [mm] (x+7)^{7}$ [/mm] abgeleitet.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Di 30.03.2010 | | Autor: | Chrisoff |
Oh man x(
Es war wohl einfach zu einfach.
(Ist ja auch schon spät)
Aber danke vielmals für die ausführliche Hilfestellung =)
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