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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:35 So 29.01.2012 | | Autor: | Flock |
Hallo, Forum!
Ich studiere gerade Galoistheorie und bin auf einige Fragen dabei gestoßen:
Es gibt einen Zusammenhang zwischen der symmetrischen Gruppe und der Auflösbarkeit von Polynomen.
1) Frage
Der Hauptsatz der Galoistheorie gibt eine Korrespondenz zwischen der Menge der Untergruppen (UG) und der Menge der Unterkörper(UK) an; Es existiert eine Abbildung zwischen diesen Mengen. D.h man kann die Körpererweiterungen durch Erweiterungen von Gruppen beschreiben... wenn ich mich nicht täusche.
Dann kommen folgende Sätze ins Spiel:
Satz vom primitiven Element,
Kummererweiterungen,
Artin-Schreier-Theorie
Welchen Zweck verfolgt man, wenn man die oben genannten Sätze gezeigt hat?
2) Frage: Man konstruiert sich einen sogenannten "Radikalturm", entdeckt, dass ein solcher eine Verfeinerung besitzt (ziemlich analog zu den Gruppenerweiterungen/ Normalreihen)
Nun wird behauptet: die entsprechende Galoisgruppe ist genau dann auflösbar durch Radikale wenn ein Polynom f durch Wurzeln auflösbar ist.
so weit so gut...
Wo ist der Haken, dass es bei den Polynomen fünften Grades im Allgemein scheitert und inwiefern besteht da die Beziehung zu der Permutationsgruppe und der "Symmetriereduktion"? (Satz von Abel liefert vielleicht die Antwort, kann mir jemand die Beweisidee des Satzes erklären?)
3) Ein konkretes Beispiel:
Ich denke mir ein Polynom aus, sagen wir [mm] x^5 [/mm] + [mm] 4*x^4 [/mm] + x + 1 über [mm] \IR[X]. [/mm] Ich will jetzt wissen, ob es durch einen Wurzelausdruck auflösbar ist. (Es klappt, wenn eine entsprechende Galoisgruppe dazu existiert)
Meine Idee:
Reduktion modulo 2 liefert, dass das Polynom irreduzibel ist. (Im Körper [mm] \IF_{2} [/mm] hat das "reduzierte" Polynom keine Nullstellen... kann man das Kriterium bei IR[X] anwenden?)
Nun: Das Polynom ist normiert, d.h es ist ein Minimalpolynom.
Jetzt muss man irgendwie einen Zerfällungskörper zu diesem Polynom finden; dann muss das galoisch werden; dann, wenn es der Fall ist, kann man sich eine Galoiserweiterung konstruieren hmm... Kann mir jemand ein genaues Vorgehen angeben; welche Schritte muss ich machen?
Ich wäre echt happy, wenn mich jemand im Thema aufklären könnte... Wäre echt dankbar, wenn jemand eine grobe Übersicht geben könnte, einen roten Faden durch dieses Thema. In Algebrabüchern habe ich zahlreiche Beweise gesehen bzw. Strukturen wie Definition-Satz-Beweis; aber vieles bleibt verborgen: Warum jetzt gerade dieser Satz?
Zu den Physikern: ;)
Es gibt auch eine Anwendung der Galoistheorie in der Physik - wenn es jemand zufällig weiß - in welchem Teilgebiet der Physik verwendet man die Theorie und welchen physikalischen Erkenntnisgewinn bringt sie?
Vielen vielen Dank im Voraus.
Gruss
Flock
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 So 29.01.2012 | | Autor: | hippias |
Hallo, eines vorne weg: Deine Fragen erscheinen mir so weit gefasst, dass man zur Beantwortung vermutlich sehr viel schreiben muesste; vielleicht koenntest Du sie etwas praeziser fassen, etwa indem Du einen konkrten Beweis postest und darin eine bestimmte Stelle erklaert haben moechtest. Sonst kann ich Dir nur empfehlen Lehrbuecher zu konsultieren.
>
> 2) Frage: Man konstruiert sich einen sogenannten
> "Radikalturm", entdeckt, dass ein solcher eine Verfeinerung
> besitzt (ziemlich analog zu den Gruppenerweiterungen/
> Normalreihen)
> Nun wird behauptet: die entsprechende Galoisgruppe ist
> genau dann auflösbar durch Radikale wenn ein Polynom f
> durch Wurzeln auflösbar ist.
> so weit so gut...
> Wo ist der Haken, dass es bei den Polynomen fünften Grades
> im Allgemein scheitert und inwiefern besteht da die
> Beziehung zu der Permutationsgruppe und der
> "Symmetriereduktion"? (Satz von Abel liefert vielleicht die
> Antwort, kann mir jemand die Beweisidee des Satzes
> erklären?)
Der Satz von Abel besagt, dass die Galois-Gruppe der allgemeinen Gleichung $n$-ten Grades isomorph zur Permutationsgruppe von $n$ Elementen ist. Fuer [mm] $n\geq [/mm] 5$ ist diese nicht aufloesbar und somit auch die allg. Gleichung $n$-ten Grades nicht durch Radikale aufloesbar.
Aber es gibt sehr wohl Beispiele fuer Polynome vom Grad [mm] $\geq [/mm] 5$, die durch Radikale aufloesbar sind, aber es geht eben nicht allgemein.
>
> 3) Ein konkretes Beispiel:
>
> Ich denke mir ein Polynom aus, sagen wir [mm]x^5[/mm] + [mm]4*x^4[/mm] + x +
> 1 über [mm]\IR[X].[/mm] Ich will jetzt wissen, ob es durch einen
> Wurzelausdruck auflösbar ist. (Es klappt, wenn eine
> entsprechende Galoisgruppe dazu existiert)
> Meine Idee:
> Reduktion modulo 2 liefert, dass das Polynom irreduzibel
> ist. (Im Körper [mm]\IF_{2}[/mm] hat das "reduzierte" Polynom keine
> Nullstellen... kann man das Kriterium bei IR[X] anwenden?)
Dieses Polynom ist nicht irreduzibel, da es eine Nullstelle in [mm] $\IR$ [/mm] hat wie jedes Polynom ungeraden Grades ueber [mm] $\IR$.
[/mm]
> Nun: Das Polynom ist normiert, d.h es ist ein
> Minimalpolynom.
> Jetzt muss man irgendwie einen Zerfällungskörper zu
> diesem Polynom finden; dann muss das galoisch werden; dann,
> wenn es der Fall ist, kann man sich eine Galoiserweiterung
> konstruieren hmm... Kann mir jemand ein genaues Vorgehen
> angeben; welche Schritte muss ich machen?
Der Zerfaellungskoerper des Polynoms ueber [mm] $\IR$ [/mm] kann nur [mm] $\IR$ [/mm] selber oder [mm] $\IC$ [/mm] sein, weshalb die Galois-Gruppe in jedem Falle aufloesbar ist. Vielleicht waere es geschickter ueber [mm] $\IQ$ [/mm] zu rechnen.
Vielleicht hilft Dir das: In Lorenz: Einfuehrung in die Algebra I ist im Kapitel 15 gezeigt, dass die Galois-Gruppe der Gleichung [mm] $X^{5}-4X+2$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] zur [mm] $S_{5}$ [/mm] ismomprh ist.
Die Gleichung $f:= [mm] X^{5}-2$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist durch Radikale aufloesbar, denn der Zerfaellungskorper von $f$ ist [mm] $\IQ[\sqrt[5]{2}, e^{i\frac{2\pi}{5}}]$ [/mm] und die Galois-Gruppe ist sogar abelsch von der Ordnung $8$.
>
> Ich wäre echt happy, wenn mich jemand im Thema aufklären
> könnte... Wäre echt dankbar, wenn jemand eine grobe
> Übersicht geben könnte, einen roten Faden durch dieses
> Thema. In Algebrabüchern habe ich zahlreiche Beweise
> gesehen bzw. Strukturen wie Definition-Satz-Beweis; aber
> vieles bleibt verborgen: Warum jetzt gerade dieser Satz?
>
> Zu den Physikern: ;)
> Es gibt auch eine Anwendung der Galoistheorie in der
> Physik - wenn es jemand zufällig weiß - in welchem
> Teilgebiet der Physik verwendet man die Theorie und welchen
> physikalischen Erkenntnisgewinn bringt sie?
>
> Vielen vielen Dank im Voraus.
>
> Gruss
>
> Flock
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mo 30.01.2012 | | Autor: | Flock |
Hallo, hippias!
Danke fuer deine Korrektur (in meinem Beispiel) und den Hinweis im Buch von Lorenz das Beispiel durchzugehen.
Zum Satz von Abel: Warum ist die Permutationsgruppe [mm] S_{5} [/mm] nicht aufloesbar? [mm] A_{5} [/mm] ist doch ein Normalteiler von [mm] S_{5}, [/mm] da der Index [mm] [S_{5}:A_{5}]=2. [/mm] Damit hat man eine Normalreihe gefunden. Die Frage ist jetzt: Sind die Faktoren der Normalreihe abelsch? - scheinbar nicht, und wie zeigt man sowas? Den Argument will ich erklaert bekommen.
Kannst du mir vielleicht ein Beispiel nennen, das nicht zu [mm] S_{5} [/mm] isomorph ist, aber das Polynom folgende Gestalt hat?
z.B: f= [mm] X^5 [/mm] + [mm] a*X^4 [/mm] + [mm] b*X^3 [/mm] + c, oder f= [mm] X^5 [/mm] + [mm] a*X^3 [/mm] + [mm] b*X^2 [/mm] + c... natuerlich mit [mm] c\not=0, a\not=0, b\not=0.
[/mm]
Oder kann man allgemein beweisen, das sowas nicht klappt?
Gruss
Flock
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 30.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zum Satz von Abel: Warum ist die Permutationsgruppe [mm]S_{5}[/mm]
> nicht aufloesbar? [mm]A_{5}[/mm] ist doch ein Normalteiler von
> [mm]S_{5},[/mm] da der Index [mm][S_{5}:A_{5}]=2.[/mm] Damit hat man eine
> Normalreihe gefunden. Die Frage ist jetzt: Sind die
> Faktoren der Normalreihe abelsch?
Nein. Und du kannst die Normalreihe auch nicht entsprechend erweitern, dass die Faktoren abelsch werden.
> - scheinbar nicht, und
> wie zeigt man sowas? Den Argument will ich erklaert
> bekommen.
Der Punkt ist, dass die Gruppe [mm] $A_5$ [/mm] einfach ist: sie hat keinen echten Normalteiler. Weiterhin ist [mm] $A_5$ [/mm] nicht abelsch.
> Kannst du mir vielleicht ein Beispiel nennen, das nicht zu
> [mm]S_{5}[/mm] isomorph ist, aber das Polynom folgende Gestalt hat?
> z.B: f= [mm]X^5[/mm] + [mm]a*X^4[/mm] + [mm]b*X^3[/mm] + c, oder f= [mm]X^5[/mm] + [mm]a*X^3[/mm] +
> [mm]b*X^2[/mm] + c... natuerlich mit [mm]c\not=0, a\not=0, b\not=0.[/mm]
Warum willst du ausgerechnet diese Form?
Schau doch mal die ![[]](/images/popup.gif) QaoS-Datenbank durch ob du ein passendes Polynom dort findest...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mo 06.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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