Auflösen von Rekursion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Do 30.01.2014 | | Autor: | gladixy |
| Aufgabe | | "Was macht man, wenn [mm] x^2 [/mm] - px - q = 0 nur eine Lösung x hat? Untersuchen Sie dies! Z.B. hat man für p = 2, q = -1 nur die Nullstelle x = 1, also hat die Rekursion [mm] a_n [/mm] = 2 [mm] a_n-1 [/mm] - [mm] a_n-2 [/mm] die Lösung [mm] a_n [/mm] = [mm] 1^n [/mm] = 1 für alle n. Finden Sie eine zweite Lösung (unabhängig von der ersten, d.h. nicht ein Vielfaches dieser Lösung, also nicht alle [mm] a_n [/mm] gleich)! |
Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Wenn eine quadratische Gleichung nur eine Lsg. hat, dann hat sie schlichtweg nur eine Lsg. oder? Ich wäre dankbar für Fingerzeige in die richtige Richtung.
Hinweis: In dem Buch wurden Rekursionen, welche von den zwei vorherigen Gliedern abhängig sind gelöst, indem [mm] a_n [/mm] = [mm] x^n [/mm] gesetzt wurde. So erhält man dann eine quadratische Gleichung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruss
glad
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Do 30.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn die charakteristische Gleichung nur die eine Lösung x hat, dann ist die allgemeine Lösung gegeben durch [mm] a_n [/mm] = [mm] c_1*x^n+c_2*n*x^n. [/mm]
Die Koeffizienten [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] bestimmst du normalerweise aus den Anfangswerten (in der Aufgabe nicht mitgeteilt), hier musst du aber ja nur irgendeine zweite Lösung angeben.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 30.01.2014 | | Autor: | gladixy |
Ich verstehe nicht, was du meinst mit "hier musst du aber ja nur irgendeine zweite Lösung angeben". Bzw. ich verstehe vielleicht die Aufgabenstellung selbst nicht. Wofür muss ich denn eine zweite Lösung angeben?
In der Aufgabe sind in der Tat noch Nebenbedingungen. Wenn ich mich nicht täusche, dann sind diese aber für mein Verständnisproblem nicht relevant.
Gruss
glad
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Do 30.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich zitiere mal dein Aufgabenstellung : "Finden Sie eine zweite Lösung".
Beantwortrt das deine Frage ?
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 30.01.2014 | | Autor: | gladixy |
Tut mir leid. Ich stehe immer noch auf dem Schlauch.
Wie kommst du auf die Formel [mm] a_n [/mm] = [mm] c_1 [/mm] * [mm] x^n [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * n * [mm] x^n [/mm] ?
Ich verstehe nich...
-> ...warum im zweiten Summand *n auftaucht
-> ...woher ich eine zweite Lösung nehme, wenn doch die quadratische Gleichung nur eine Lösung liefert. Ich verstehe hierbei unter Lösung ein x, für welches gilt [mm] a_n [/mm] = [mm] x^n [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Do 30.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Formel wird üblicherweise in Vorlesungen gelehrt, die das Thema "lineare Rekursion" behandeln.
Wenn du sie nicht benutzen willst, musst du anders vorgehen:
[mm] a_n [/mm] = [mm] 2a_{n-1}-a_{n-2} [/mm] ist gleichbedeutend mit [mm] \bruch {a_n+a_{n-2}}{2}=a_{n-1} [/mm] , d.h. jedes Folgenglied ist Mittelwert seiner Nachbarn, hat also zu beiden Nachbarn denselben Abstand, alle Abstände zwischen den Folgengkliedern sind gleich, es ist eine arithmetische Folge. Schreib irgendeine passende hin.
Deine Annahme, dass alle Lösungen der Rekursion von der Form [mm] a_n=x^n [/mm] sein müssten, ist einfach falsch.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 30.01.2014 | | Autor: | gladixy |
Ich denke ich habe deine Formel nun doch verstanden. Ich habe probeweise in der Formel x = 1 gesetzt, was dem Ergebnis aus der Lösung der quadratischen Gleichung entspricht. Dann habe ich die Nebenbedingungen verwendet um die konstanten Faktoren zu bestimmen und die Reihe manuell überprüft. Es scheint also zu stimmen. Falls das Vorgehen falsch ist, wäre ich für einen Hinweis dankbar. Mir war nicht bewusst, dass es so eine allgemeine Formel gibt.
Ich dachte ausserdem, dass man für die Lösung immer zwei verschiedene x benötigt, da in dem Buch mit dem ich lerne davon die Rede ist, dass die Menge an Folgen, welche die Rekursion erfüllen ein Unterverktorraum aller möglichen Folgen ist. Dieser sei zwei-dimensional, da jede der lösenden Folgen durch zwei Anfangsbedingungen bestimmt ist.
Vermutlich habe ich das aber falsch verstanden und es existiert kein Widerspruch zwischen der von dir angegeben Formel und dieser Aussage.
Was ich noch gerne wissen würde: Bei einer Rekursion, welche aus einer Summe von Vorgänger- und Vor-Vorgängerglied besteht - wie eben diejenige aus dieser Aufgabe - ist es nicht garantiert, dass man mit [mm] a_n [/mm] = [mm] x^n [/mm] zum Ziel kommt? (Bei dieser Aufgabe scheint es zumindest geklappt zuhaben)
Danke schonmal für die tolle Unterstützung Sax
Gruss
glad
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:23 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ich denke ich habe deine Formel nun doch verstanden. Ich
> habe probeweise in der Formel x = 1 gesetzt, was dem
> Ergebnis aus der Lösung der quadratischen Gleichung
> entspricht. Dann habe ich die Nebenbedingungen verwendet um
> die konstanten Faktoren zu bestimmen und die Reihe manuell
> überprüft. Es scheint also zu stimmen. Falls das Vorgehen
> falsch ist, wäre ich für einen Hinweis dankbar. Mir war
> nicht bewusst, dass es so eine allgemeine Formel gibt.
>
Das Vorgehen ist absolut richtig.
> Ich dachte ausserdem, dass man für die Lösung immer zwei
> verschiedene x benötigt, da in dem Buch mit dem ich lerne
> davon die Rede ist, dass die Menge an Folgen, welche die
> Rekursion erfüllen ein Unterverktorraum aller möglichen
> Folgen ist. Dieser sei zwei-dimensional, da jede der
> lösenden Folgen durch zwei Anfangsbedingungen bestimmt
> ist.
Deshalb benötigt man zur Erzeugung zwei linear unabhängige Basisvektoren (-folgen), nicht aber unbedingt zwei Lösungen der charakteristischen quadratischen Gleichung.
Wenn die Gleichung zwei (reelle oder komplexe) Lösungen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] hat, sind das die Folgen [mm] (u_n) [/mm] mit [mm] u_n=x_1^n [/mm] und [mm] (v_n) [/mm] mit [mm] v_n=x_2^n. [/mm] Wenn die Gleichung eine Lösung x hat, dann sind es die Folgen [mm] (u_n) [/mm] mit [mm] u_n=x^n [/mm] und [mm] (v_n) [/mm] mit [mm] v_n=n*x^n.
[/mm]
Jede Lösung [mm] (a_n) [/mm] ist dann gegeben durch [mm] a_n=c_1*u_n+c_2*v_n, [/mm] wobei [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] aus den Anfangswerten zu berechnen sind.
>
> Vermutlich habe ich das aber falsch verstanden und es
> existiert kein Widerspruch zwischen der von dir angegeben
> Formel und dieser Aussage.
>
> Was ich noch gerne wissen würde: Bei einer Rekursion,
> welche aus einer Summe von Vorgänger- und
> Vor-Vorgängerglied besteht - wie eben diejenige aus dieser
> Aufgabe - ist es nicht garantiert, dass man mit [mm]a_n[/mm] = [mm]x^n[/mm]
> zum Ziel kommt? (Bei dieser Aufgabe scheint es zumindest
> geklappt zuhaben)
>
Da verstehe ich die Frage nicht ganz. Wenn die Anfangswerte ergeben, dass [mm] c_2=0 [/mm] ist, dann ist die Lösung eben nur [mm] a_n=x^n, [/mm] bei anderen Anfangswerten kommt man damit allein nicht zum Ziel.
> Danke schonmal für die tolle Unterstützung Sax
>
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mo 03.02.2014 | | Autor: | gladixy |
Danke für die super Hilfe :)
Gruss
gladi
|
|
|
|
