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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
f(x) = x + [mm] \bruch{1}{2} \lceil{x}\rceil [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \lceil{x+\bruch{1}{2}}\rceil [/mm] + ( [mm] \lceil{x}\rceil [/mm] - [mm] \lceil{x+\bruch{1}{2}}\rceil )^2
[/mm]
nicht unterhalbstetig ist! |
Huhu zusammen!
Eigentlich gar nicht so eine schwere Aufgabe aber ich tu mich doch schwer es zu zeigen:
Unterhalbstetig bedeutet, dass der
[mm] \limes_{x \rightarrow x_0} [/mm] inf (x) [mm] \ge f(x_0)
[/mm]
eig muss ich dann ja nur eine Stelle zeigen, wo
[mm] \limes_{x \rightarrow x_0} [/mm] inf (x) < [mm] f(x_0)
[/mm]
wenn man sich die Funktion aufzeichnet ist das anschaulich klar. Aber wie zeige ich das? Etwa so :
Sei [mm] x_0 [/mm] = 0 . f(0) = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] . Dadrunter die Werte im Intervall [-1,0) sind sind f([ .. )) = [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] .
Wie schreibe ich nun formal
[mm] \limes_{x \rightarrow 0} [/mm] inf (x) < f(0) auf?
Ich will irgendwie zeigen, dass
[mm] \limes_{x \rightarrow 0} [/mm] inf (x) = [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] oder [mm] \limes_{x \rightarrow 0} [/mm] inf (x) [mm] \to \bruch{-1}{2} [/mm] ist.
Muss ich mir dazu ein [mm] \varepsilon [/mm] aus [-1,0) nehmen und gilt, dass
[mm] \limes_{e \rightarrow 0} f(\varepsilon) [/mm] = [mm] \limes_{e \rightarrow 0} \lceil{\varepsilon}\rceil [/mm] = [mm] \limes_{e \rightarrow 0} \bruch{-1}{2} [/mm]
Denke aber nicht dass ich das darf :P
Liebe Grüße und Ostertage,
Evelyn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Sa 19.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> Zeigen Sie, dass
>
> f(x) = x + [mm]\bruch{1}{2} \lceil{x}\rceil[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \lceil{x+\bruch{1}{2}}\rceil[/mm]
> + ( [mm]\lceil{x}\rceil[/mm] - [mm]\lceil{x+\bruch{1}{2}}\rceil )^2[/mm]
>
> nicht unterhalbstetig ist!
> Huhu zusammen!
>
> Eigentlich gar nicht so eine schwere Aufgabe aber ich tu
> mich doch schwer es zu zeigen:
>
> Unterhalbstetig bedeutet, dass der
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}[/mm] inf (x) [mm]\ge f(x_0)[/mm]
>
> eig muss ich dann ja nur eine Stelle
[mm] $x_0$
[/mm]
> zeigen
finden, wo ich nachweise, dass
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}[/mm] inf (x) < [mm]f(x_0)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , sofern Du linkerhand
[mm] $\lim_{x \to x_0}\inf \red{f}(x)$
[/mm]
meintest!
> wenn man sich die Funktion aufzeichnet ist das anschaulich
> klar. Aber wie zeige ich das? Etwa so :
>
>
> Sei [mm]x_0[/mm] = 0 . f(0) = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] .
> Dadrunter die Werte im
> Intervall [-1,0) sind sind f([ .. )) = [mm]\bruch{-1}{2}[/mm] .
??? $f(A)$ für eine Menge [mm] $A\,$ [/mm] ist (bei obiger Funktion [mm] $f\,$) [/mm] immer eine MENGE!
Ansonsten kann ich mit dem, was Du da geschrieben hattest, wenig
anfangen - und nebenbei: [mm] $\lim_{...} ...\red{\;\to\;}$ [/mm] schreibe bitte (so gut wie) NIEMALS - da
gehört (wenn es keine Besonderheiten gibt) (fast) immer [mm] $\lim_{...}...\red{\;=\;}$ [/mm] hin!
> Wie schreibe ich nun formal
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0}[/mm] inf (x) < f(0) auf?
Naja, schau' mal:
Es ist [mm] $f(0)=3/2\,,$ [/mm] das hast Du Dir schon selbst überlegt. Wenn ich mir den
Graphen der obigen Funktion plotten lasse, so sehe ich doch, dass bspw. die
"Problematik" rechts von [mm] $x_0=0$ [/mm] stattfindet. Warum? Wir schreiben das, was
ich zu sehen glaube, mal auf:
Naja, nehmen wir mal $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] 0.5\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $f(\delta)=\delta+0.5*\lceil \delta \rceil [/mm] + [mm] 0.5*\lceil \delta+0.5\rceil+(\lceil \delta \rceil-\lceil \delta+0.5\rceil)^2$
[/mm]
[mm] $=\delta+0+0.5+0.5+(1-1)^2=\delta+1\,.$
[/mm]
Was wird also
[mm] $\lim_{0 < \delta \to 0}f(\delta)$
[/mm]
sein und was bringt uns das?
Gruß,
Marcel
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> > Wie schreibe ich nun formal
> >
> > [mm]\limes_{x \rightarrow 0}[/mm] inf (x) < f(0) auf?
>
> Naja, schau' mal:
> Es ist [mm]f(0)=3/2\,,[/mm] das hast Du Dir schon selbst überlegt.
> Wenn ich mir den
> Graphen der obigen Funktion plotten lasse, so sehe ich
> doch, dass bspw. die
> "Problematik" rechts von [mm]x_0=0[/mm] stattfindet. Warum? Wir
> schreiben das, was
> ich zu sehen glaube, mal auf:
>
> Naja, nehmen wir mal [mm]0 < \delta < 0.5\,.[/mm] Dann ist
>
> [mm]f(\delta)=\delta+0.5*\lceil \delta \rceil + 0.5*\lceil \delta+0.5\rceil+(\lceil \delta \rceil-\lceil \delta+0.5\rceil)^2[/mm]
>
> [mm]=\delta+0+0.5+0.5+(1-1)^2=\delta+1\,.[/mm]
>
> Was wird also
>
> [mm]\lim_{0 < \delta \to 0}f(\delta)[/mm]
>
> sein und was bringt uns das?
>
> Gruß,
> Marcel
Hey Marcel!
Das ist genial!
[mm] \lim_{0 < \delta \to 0}f(\delta) [/mm] wird nun 1 sein und damit haben wir gezeigt, dass [mm] f(\delta) [/mm] nicht unterhalb stetig sein kann! (f(0) = 3/2)
Vielleicht noch ne kleine Frage, zu unwichtig als dass ich sie als Frage öffne, aber du hast dich sozusagen der 0 von rechts angenähert. Ist das im Allgemeinen egal, ob du von links oder rechts kommst?
Auf jeden Fall vielen Dank schonmal!
Lieben Gruß,
Evelyn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:52 So 20.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> > > Wie schreibe ich nun formal
> > >
> > > [mm]\limes_{x \rightarrow 0}[/mm] inf (x) < f(0) auf?
> >
> > Naja, schau' mal:
> > Es ist [mm]f(0)=3/2\,,[/mm] das hast Du Dir schon selbst
> überlegt.
> > Wenn ich mir den
> > Graphen der obigen Funktion plotten lasse, so sehe ich
> > doch, dass bspw. die
> > "Problematik" rechts von [mm]x_0=0[/mm] stattfindet. Warum? Wir
> > schreiben das, was
> > ich zu sehen glaube, mal auf:
> >
> > Naja, nehmen wir mal [mm]0 < \delta < 0.5\,.[/mm] Dann ist
> >
> > [mm]f(\delta)=\delta+0.5*\lceil \delta \rceil + 0.5*\lceil \delta+0.5\rceil+(\lceil \delta \rceil-\lceil \delta+0.5\rceil)^2[/mm]
>
> >
> > [mm]=\delta+0+0.5+0.5+(1-1)^2=\delta+1\,.[/mm]
> >
> > Was wird also
> >
> > [mm]\lim_{0 < \delta \to 0}f(\delta)[/mm]
> >
> > sein und was bringt uns das?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
>
>
> Hey Marcel!
>
> Das ist genial!
ne, ich habe Dir nur das, was Du gesehen hast, mal aufgeschrieben (und
an entsprechender Stelle *verfeinert* bzw. mich auf's Wesentliche konzentriert.
Das ist reine Übungssache!)!
> [mm]\lim_{0 < \delta \to 0}f(\delta)[/mm] wird nun 1 sein und damit
> haben wir gezeigt, dass [mm]f(\delta)[/mm]
Du meinst [mm] $f\,$ [/mm] - und der Grund ist, dass wir eine Stelle angeben konnten,
an der [mm] $f\,$ [/mm] nicht *uhs* war.
> nicht unterhalb stetig
> sein kann! (f(0) = 3/2)
>
> Vielleicht noch ne kleine Frage, zu unwichtig als dass ich
> sie als Frage öffne, aber du hast dich sozusagen der 0 von
> rechts angenähert. Ist das im Allgemeinen egal, ob du von
> links oder rechts kommst?
Schau' Dir mal
![[]](/images/popup.gif) Halbstetigkeit, WikiEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
an - vor allem die "Charakterisierung mit einer Umgebung". (Bitte nicht direkt
nach der *Oberhalb-Stetigkeit* aufhören zu lesen; zum einen kann man
es sich analog selbst überlegen, zum anderen steht es aber auch dort im
Text...)
Wenn Du Dich von links der Null näherst, so kann das hier keine Probleme
geben. Das kannst Du Dir zum Einen durchaus mal formal komplett
überlegen (egal mit welcher Definition - ich finde die "Umgebungscharakterisierung"
dafür sehr handlich), aber ein ganz einfacher Grund ist:
Die Funktion ist an der Stelle $x_0=0$ durchaus "linksseitig stetig". Um's
noch krasser zu sagen:
Ich kann ein $\delta\,' > 0$ so angeben, dass
$\left. f \right|_{(-\delta\,',0]}$
stetig ist - diese "eingeschränkte Funktion" ist überall stetig, damit auch
überall unterhalb- und oberhalb stetig. Folglich kann man bei der zu
untersuchenden Funktion $f\,$ "links nahe der Null" keine "Probleme zur
Unterhalbstetigkeit" feststellen - also müssen diese rechts nahe der
Null sein. (Entsprechend unserer Beobachtung!)
Und um das mit der Umgebung mal formal zu machen: Sei $\epsilon_0:=1/4 > 0\,.$
Wäre $f\,$ in $x_0=0$ unterhalbstetig, so wäre
$f(y) > f(0)-\epsilon_0=3/2-1/4=1.25$
für alle $y\,,$ die in einer Nullumgebung von $x_0=0$ liegen.
Für $0 < \delta < \epsilon_0=1/4$ haben wir aber
$f(\underbrace{x_0+\delta}_{=:y})=f(0+\delta)=f(\delta)=1+\delta\,.$
Wie argumentieren wir damit nun vernünftig? (Beachte bitte, dass für $0 < \delta < \epsilon_0$
noch keinesfalls $y:=\delta$ auch in der *erstmal als existent angenommenen
Umgebung* liegen muss - aber man kann das $\delta$ ja ggf. verkleinern [und
dabei dann noch echt positiv lassen]...).
Gruß,
Marcel
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