Aufstellen DGL 4.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Do 20.01.2011 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Eine homogene lineare DGL 4.Grades mit konstanten Koeffizienten besitze die Lösungen [mm] y_{1}(x)=xe^{2x} [/mm] und [mm] y_{2}(x)=cosh(x).
[/mm]
Wie lautet diese DGL? |
Hallo,
da eine DGL 4.Grades gesucht ist, muss ich also 4 Konstante Koeffizienten ermitteln.
Normalerweise bräuchte ich ja nun 4Gleichungen, d.h. auch 4Lösungen der DGL um die 4Konstanten zu ermitteln.
Als 3. Lösung wäre ja z.b. noch [mm] y_{3}=y_{2}+y_{1} [/mm] möglich. Und desweiteren gilt ja sowieso das [mm] y=C*y_{n}. [/mm]
... aber irgendwie, habe ich das Gefühl die Aufgabe ist viel einfacher zu lösen, als ich es vorhabe. Ich komme hier nicht voran. Kann mir da evtl. jemand helfen?
Vielen Dank.
Gruß
carl
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Hallo carl1990,
> Eine homogene lineare DGL 4.Grades mit konstanten
> Koeffizienten besitze die Lösungen [mm]y_{1}(x)=xe^{2x}[/mm] und
> [mm]y_{2}(x)=cosh(x).[/mm]
> Wie lautet diese DGL?
> Hallo,
>
> da eine DGL 4.Grades gesucht ist, muss ich also 4 Konstante
> Koeffizienten ermitteln.
> Normalerweise bräuchte ich ja nun 4Gleichungen, d.h. auch
> 4Lösungen der DGL um die 4Konstanten zu ermitteln.
> Als 3. Lösung wäre ja z.b. noch [mm]y_{3}=y_{2}+y_{1}[/mm]
> möglich. Und desweiteren gilt ja sowieso das [mm]y=C*y_{n}.[/mm]
> ... aber irgendwie, habe ich das Gefühl die Aufgabe ist
> viel einfacher zu lösen, als ich es vorhabe. Ich komme
> hier nicht voran. Kann mir da evtl. jemand helfen?
Die Lösung [mm]y_{1}\left(x\right)=x*e^{2*x}[/mm] deutet darauf hin,
daß 2 eine doppelte Nullstelle des zugehörigen
charakteristischen Polynoms ist.
Die Lösung [mm]y_{2}\left(x\right)=\cosh\left(x\right)[/mm] kann so geschrieben werden:
[mm]\cosh\left(x\right)=\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}[/mm]
Dies ergibt also auch zwei Lösungen [mm]e^{x}, \ e^{-x}[/mm]
Daraus kannst Du nun die DGL 4. Ordnung zusammenbauen.
> Vielen Dank.
>
> Gruß
>
> carl
>
Gruss
MathePower
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