Aufstellen Funktion 4. Grades < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo Zusammen,
bin ganz neu hier und habe direkt eine Frage ;)
Ich soll eine ganzrationale Funktion 4. Grades aufstellen die eine Doppelte Nullstelle bei x=2 hat.
Desweiteren muss diese Funktion eine Wendestelle bei x=1 haben durch die auch die funktion y=-16x+27 geht. |
Folgenden Ansatz habe ich:
erst einmal die Grundfunktion aufgestellt plus 1. & 2. Ableitung
f(x) = [mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
f'(x) = [mm] 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d
[/mm]
f''(x) = [mm] 12ax^{2}+6bx+2c
[/mm]
Nullstelle:
f(x) = 0
0=16a+8b+4c+2d+e
Wendestelle ligt auf Wendetangente:
f(1) = -16+27
f(1) = 11
Wendestelle bei 1 (2. Ableitung)
f''(1) = 0
0=4a+3b+2c+d
Erste Ableitung der Funktion gleiche Steigung im Punkt 1 wie Tangente:
f'(1) = -16
Nur wie gehe ich nun weiter vor?
Ich habe mir noch gedacht dass ich ein Extrema bei x=2 habe da hier eine Doppelte Nullstelle vorliegt? Liege ich da richtig?
wenn Ja könnte ich doch sagen:
f'(2) = 0
Vielen Dank für eure Hilfe :)
Gruß
Sascha
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Hallo Loddar,
erstmal vielen lieben Dank für die schnwelle Antwort ;)
Natürlich, mein Fehler, dann nochmal den Wendepunkt diesmal in der 1. Ableitung:
f''(1) = 12a+6b+2c
Die Gleichung für die Wendestelle in $ f(x)_ $ ergibt:
0=$ [mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e-11 [/mm] $ oder?
Die Funktion mit der Steigung der Tangente kann ich einfach so in die erste Ableitung einsetzen?
Das würde ja dann ergeben:
0 = $ [mm] 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d+16 [/mm] $
Dann hätte ich ja 4 Gleichungen die ich mittels Determinanten oder Gauß lösen könnte oder?
Gruß
Sascha
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So, dann hätte ich folgende Gleichungen:
1) 11=16a+8b+4c+2d+e (Wendetangente mit Wendestelle bei x=1 in f(x) eingesetzt )
2) 0=12a+6b+2c (Wendestelle bei x=1)
3) -16=4a+3b+2c+d (Tangentensteigung von 16 in 1. Ableitung))
4) 0=32a+12b+4c+d (Doppelte Nullstelle als Extrema)
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Hallo,
Für x=2 lässt sich auch noch die Bedingung f(2)=0 aufstellen, da es sich um eine Nullstelle handelt. Dies ergibt die benötigte fünfte Gleichung (es sind fünf Unbekannte!).
Übrigens:
Das Extremum (Singular)
Die Extrema (Plural)
Gruß, Diophant
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier bist Du in der Ableitung verrutscht. Das ist die erste Ableitung, nicht die zweite.
