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| Aufgabe | Die Flächenzunahme eines jungen Blattes der Seerose Victoria Regia ist proportional zum Produkt
seines Umfangs und der Menge des einfallenden Sonnenlichts. Letztere wiederum ist(solange die Sonne
scheint)proportional der Blattfläche und dem Kosinus des Winkels [mm] \phi [/mm] zwischen der Vertikalen und der
Richtung der einfallenden Sonnenstrahlen. Außerdem werde folgendes angenommen:
das Blatt wächst am Äquator und hat die Form einer Kreisscheibe
Sonnenaufgang ist um t =6Uhr, Sonnenuntergang um t =18Uhr
Im Zeitraum [mm] 6\le t\le [/mm] 18 Uhr fällt der Winkel [mm] \phi [/mm] linear mit der Zeit von [mm] \phi(6)=90 [/mm] auf [mm] \phi(18)=-90
[/mm]
die Blattfläche beträgt [mm] 1600cm^2 [/mm] um 6Uhr und [mm] 2500cm^2 [/mm] um 18Uhr.
Bestimmen Sie die Fläche F(t)des Blattes als Funktion der Zeit t (Uhrzeit in Stunden)für den Zeitraum
[mm] 6\le t\le [/mm] 18 Uhr. |
HI Leute.
ich habe mirdazu folgende Gedanken gemacht:
Die Flächenzunahme eines jungen Blattes i.e. F'(t)
ist proportional zum Produkt
seines Umfangs und der Menge des einfallenden Sonnenlichts. i.e. F'(t)=U(t)*M(t)
Letztere wiederum ist(solange die Sonne
scheint)proportional der Blattfläche und dem Kosinus des Winkels [mm] \phi [/mm] zwischen der Vertikalen und der
Richtung der einfallenden Sonnenstrahlen. i.e. [mm] M(t)=F(t)*cos(\phi(t))
[/mm]
zusammenwursten:
[mm] F'(t)=U(t)*F(t)*cos(\phi(t))
[/mm]
Zusatzüberlegung
[mm] U=\wurzel{\pi*F(t)}*2 [/mm]
zusammmenwursten
[mm] F'(t)=\wurzel{\pi*F(t)}*2*F(t)*cos(\phi(t))
[/mm]
TdV liefert
[mm] \bruch{1}{\wurzel{\pi}}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{F(t)^{\bruch{3}{2}}} dt}=2*\integral_{}^{}{cos(\phi(t)) dt}
[/mm]
Ist das erst mal so richtig?
Jetzt habe ich aber mit dem Intergral hier ein problem: [mm] \integral_{}^{}{cos(\phi(t)) dt}
[/mm]
ich will ja nach t intergieren und nicht nach phi
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Sieht soweit ganz gut aus. Die Funktion [mm]\phi (t)[/mm] ist ja linear und verläuft (in Bogenmaß) zwischen [mm]\frac{\pi}{2} [/mm] um 6h und [mm]-\frac{\pi}{2} [/mm] um 18h. Also ist - für t in Stunden -
[mm] \phi (t) = -\frac{\pi}{12} t + \pi [/mm]
Jetzt noch substituieren und fertig ist die Laube.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Hiroschiwa |
das mit den linear habe ich ganz übersehen ^^
Danke schön :)
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