Aufstellen einer Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Punkte P (2/2/3) und Q (4/0/3) und der Punkt [mm] R_{k} [/mm] (3/3/k+3) k [mm] \in \IR [/mm] legen eine Ebene [mm] E_{k} [/mm] fest. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene [mm] E_{k} [/mm] in Koordinatenform.
Teilergebnis (aus dem nächsten Punkt entnommen) ist:
[mm] E_{k}: -kx_{1} -kx_{2} +2x_{3} [/mm] +4k-6 = 0 |
Wie bekomme ich das mit dem Gaußverfahren hin?
Ich wandel das normalerweise erst mal schnell in die Parameterform um:
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & -2 \\ 0 & -2 \\ 3 & -3 } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 0} [/mm] Den multizliziere ich noch mit 0,5. Dann habe ich: 0,5 [mm] \vec{u} [/mm] = (1 / -1 / 0)
Mit
[mm] \overrightarrow{PR_{k}} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & -2 \\ 3 & -2 \\ k+2 & -3 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ k}
[/mm]
verfahre ich dann genauso.
[mm] \Rightarrow E_{k}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Um jetzt den Gaußalgorythmus zu verwenden, schreibe ich:
I: [mm] \vmat{ x_{1} & -2 / 1 & 1 \\ x_{2} & -2 / -1 & 1 \\ x_{3} & -3 / 0 & k}
[/mm]
Egal was ich mache, ich komme nur auf Schmarren.
Wie würdet ihr das addieren?
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Euch ist sicher aufgefallen, dass die letzte Klammer in der Parameterform nicht richtig ausgefüllt ist. Darin steht natürlich (1 / 1 / k).
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> Die Punkte P (2/2/3) und Q (4/0/3) und der Punkt [mm]R_{k}[/mm]
> (3/3/k+3) k [mm]\in \IR[/mm] legen eine Ebene [mm]E_{k}[/mm] fest. Bestimmen
> Sie eine Gleichung dieser Ebene [mm]E_{k}[/mm] in Koordinatenform.
>
> Teilergebnis (aus dem nächsten Punkt entnommen) ist:
>
> [mm]E_{k}: -kx_{1} -kx_{2} +2x_{3}[/mm] +4k-6 = 0
> Wie bekomme ich das mit dem Gaußverfahren hin?
>
> Ich wandel das normalerweise erst mal schnell in die
> Parameterform um:
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & -2 \\ 0 & -2 \\ 3 & -3 }[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 0}[/mm] Den multizliziere ich noch mit 0,5.
> Dann habe ich: 0,5 [mm]\vec{u}[/mm] = (1 / -1 / 0)
>
> Mit
>
> [mm]\overrightarrow{PR_{k}}[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & -2 \\ 3 & -2 \\ k+2 & -3 }[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ k}[/mm]
> verfahre ich dann genauso.
>
> [mm]\Rightarrow E_{k}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> Um jetzt den Gaußalgorythmus zu verwenden, schreibe ich:
>
> I: [mm]\vmat{ x_{1} & -2 / 1 & 1 \\ x_{2} & -2 / -1 & 1 \\ x_{3} & -3 / 0 & k}[/mm]
>
> Egal was ich mache, ich komme nur auf Schmarren.
> Wie würdet ihr das addieren?
Eine Frage habe ich zu oben noch, was ist mit deinem Richtungsvektor passiert? Wie konnte aus [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ k}[/mm] ein [mm]\mu \vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm] werden?? Außerdem muss es oben im vektor für z k+3-3 heißen und nicht etwa k+2, aber das hast du richtig gerechnet
Die Zahlen sind doch ideal, oder? Also ;)
Meine Gleichungen lauten nach deinem Ansatz:
$ x=2+a+b $
$ y=2-a+b $
$ z=3+kb $
Daraus folgt sofort offensichtlich:
$ x+y=4+2b $
$ z=3+kb $
Jetzt müssen wir eben mit dem k rechnen,aber trotzdem versuchen, b auf eine gemeinsame Basis zu bekommen, also hier 2bk:
$ kx+ky=4k+2kb $
$ 2z=6+2kb $ (Ich gebe zu, dieser Schritt hat bei mir gerade sehr lange gedauert -_-)
Daraus folgt dann deine Gleichung
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Zu deiner Frage. Ich habe die Klammern etc. einmal geschrieben und dann immer wieder kopiert. Muss vergessen haben alle richtig auszufüllen. Ich dachte ich muss beim Gaußverfahren pro Schritt immer alle Zeilen berücksichtigen!? Kannst du mir mal sagen nach welchen Regeln das funktioniert. Manchmal klappts und manchmal auch nicht. Vielleicht hast ja auch 2 - 3 Aufgaben für mich die du dann kontrollieren könntest... :)
Grüße und Danke
P.S.
Schön zu sehen, dass es auch anders geht. Anstatt der Matrix die uns immer vermittelt wird.
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> Zu deiner Frage. Ich habe die Klammern etc. einmal
> geschrieben und dann immer wieder kopiert. Muss vergessen
> haben alle richtig auszufüllen. Ich dachte ich muss beim
> Gaußverfahren pro Schritt immer alle Zeilen
> berücksichtigen!? Kannst du mir mal sagen nach welchen
> Regeln das funktioniert. Manchmal klappts und manchmal auch
> nicht. Vielleicht hast ja auch 2 - 3 Aufgaben für mich die
> du dann kontrollieren könntest... :)
> Grüße und Danke
Habs dannauch gemerkt, deine Zahlen stimmen ja, haha ;)
>
> P.S.
> Schön zu sehen, dass es auch anders geht. Anstatt der
> Matrix die uns immer vermittelt wird.
Ja also ne andere version ist das nicht! Das finde ich immer so schade, wenn die Leute von Matrizenschreibweiße oder Gauß-Verfahren sprechen, ist doch alles das selbe!
Du kannst meine Gleichungen natürlich auch ohne das x,y,z notieren und als Matrix auffassen, ne Matrix ist janichts anderes als eine Tabellenschreibweise für Gleichungen!
Demzufolge gilt für meine notierten Gleichungen zu beginn auch folgende Schreibweise:
$ [mm] \vmat{ 2 & a & b\\ 2 & -a & +b \\ 3 & 0 & kb } [/mm] $
PS: Ich sehe gerade, dass dies ungeschickt ist, da du natürlich x und y und z sehr wohl brauchst und mitverändern musst, also wäre es fast sinnvoll, alles aufzuschreiben:
$ [mm] \vmat{ x & 2 & a & b\\ y & 2 & -a & +b \\ z & 3 & 0 & kb } [/mm] $
Das wären jetzt die Spalten ohne x y z, die man auch noch links oder rechts notieren könnte. Und jetzt geht es eben einfach darum, die Gleichungen so zu addieren oder zu subtrahieren, dass die Variablen nacheinander entfallen. Das Gauß-Verfahren sieht dabei nur eine besonders schöne Eliminierung bis zur Dreiecksgestalt vor, aber du kannst jede beliebige Umformung nutzen, um zum Ziel zu gelangen. Wenn du willst, kann ich dir auch nochmal jeden Schritt notieren. Ich kann dir auch zum Thema Lineare Gleichungssysteme drei-vier Aufgaben aus meinem Übungsbuch aufschreiben
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Ja gerne. Immer her mit den Aufgaben. Ich sitze zwar gerade an Analysis aber ich schieb gerne mal was interessantes zwischenrein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Adamantin |
Dann warte bitte noch ein wenig oder bis morgen, aber jetzt komme ich nicht dazu, vllt in gut ner Stunde, dann schreib ich dir ein paar ab, mit vllt ein-zwei hilfreichen Sätzen.
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Ich schau dann einfach mal später oder morgen früh nochmal rein.
Bin schon gespannt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Adamantin |
Also ich kann dir dazu das Buch "Oberstufenmathematik leicht gemacht Band 2: Lineare Algebra" von Peter Dörsmam empfehlen. Das beginnt mit einem ausführlichen Kapitel zum Gauß-Algorithmus bzw zu LGS und ich kopier dir nachher einfach mal ein paar Seiten. Die Übungsaufgaben, die du nach eigenem Ermessen bzw mit eigenem Vorgehen lösen kannst, sind:
1)
$ x+3y+z=1 $
$ -x+y-z=-7 $
$ 6x+6y+3z=54 $
2)
$ 4z-2w=1 $
$ 2x+3y-4z+5w=5 $
$ x+y+z+w=4 $
$ x+2y-7z+7w=0 $
Beispiel für unterbestimmt/unendlich:
$ 2x+y=3 $
$ 4x+2y=12 $
Beispiel für unlösbar:
$ x+2y=10 $
$ 8x+4y=24 $
$ -3x+6y=-6 $
Ich erspare mir jetzt das Beispiel zur Rechnung mit Matrizen, wenn dich dies interessiert, im Internet stöbern oder Buch kaufen ^^
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> 1)
>
> [mm]x+3y+z=1[/mm]
> [mm]-x+y-z=-7[/mm]
> [mm]6x+6y+3z=54[/mm]
Z= -10 ; y = -3/2 ; x = 15,5
[mm] \IL=\{-10 / -3/2 / 15,5 \}
[/mm]
>
> 2)
>
> [mm]4z-2w=1[/mm]
> [mm]2x+3y-4z+5w=5[/mm]
> [mm]x+y+z+w=4[/mm]
> [mm]x+2y-7z+7w=0[/mm]
Z= 1/8 ; y = -3/2 ; x = 45/8 ;w = -1/4
[mm] \IL=\{\bruch{45}{8} / \bruch{-3}{2} / \bruch{1}{8} / \bruch{-1}{4} \}
[/mm]
>
> Beispiel für unterbestimmt/unendlich:
>
> [mm]2x+y=3[/mm]
> [mm]4x+2y=12[/mm]
0 = 6 [mm] \Rightarrow [/mm] Parallelität
Normalform:
y = -2x + 3
y = -2x + 6
Parallel mit dem Abstand [mm] \Delta [/mm] y = 3
>
> Beispiel für unlösbar:
>
> [mm]x+2y=10[/mm]
> [mm]8x+4y=24[/mm]
> [mm]-3x+6y=-6[/mm]
Letzte 3 Zeilen:
x + 2y - 10 = 0
/ 12x - 56 = 0
/ / - 80 = 0
Schaut aus wie oben. Unterbestimmt/Unendlich ist dann Parallel und unlösbar ist es wenn was los ist? Wenn ich die drei Gleichungen auf die Normalform umstelle habe ich die Steigungen - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \bruch{1}{2} (\Rightarrow [/mm] Schnittpunkt bei x=6) und - 2. Das sagt mir dann dass sie Schnittpunkte haben müssen, die aber zueinander (betrachtet man alle drei gleichzeitig) different sind. Wie kann ich dann unlösbare von unterbestimmten auseinander halten wenn ich DREI Variablen habe? Auch auf Normalform umstellen und schauen welche mit welcher x=x und w=w ... aufweist?
>
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> > 1)
> >
> > [mm]x+3y+z=1[/mm]
> > [mm]-x+y-z=-7[/mm]
> > [mm]6x+6y+3z=54[/mm]
>
> Z= -10 ; y = -3/2 ; x = 15,5
> [mm]\IL=\{-10 / -3/2 / 15,5 \}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ;)
> >
> > 2)
> >
> > [mm]4z-2w=1[/mm]
> > [mm]2x+3y-4z+5w=5[/mm]
> > [mm]x+y+z+w=4[/mm]
> > [mm]x+2y-7z+7w=0[/mm]
>
> Z= 1/8 ; y = -3/2 ; x = 45/8 ;w = -1/4
> [mm]\IL=\{\bruch{45}{8} / \bruch{-3}{2} / \bruch{1}{8} / \bruch{-1}{4} \}[/mm]
;) Sehr gut, offenbar bereitet dir das also keinerlei Schwierigkeiten, oder habe ich etwas falsch verstanden und du wolltest andere Aufgaben? Ich hätte auch welche zu Konstanten mit a oder b, die sind dann aber eine etwas andere richtung, weil es dann darum geht zu sagen, unter welchen bedingungen für a das LSG lösbar ist und nicht etwa wie bei dir, das a drin zu lassen (ist aber auch mit dabei)
>
> >
> > Beispiel für unterbestimmt/unendlich:
> >
> > [mm]2x+y=3[/mm]
> > [mm]4x+2y=12[/mm]
>
> 0 = 6 [mm]\Rightarrow[/mm] Parallelität
MEIN FEHLER! Die Gleichung ist nicht lösbar,natürlich!
Dies sieht man sofort, wie du jaauch im nächsten Schritt zeigst, wenn man sie auf eine einheitliche Geradenform bringt. Es handelt sich um zwei parallele Geraden, ergo kann kein Schnittpunkt bzw eine Schnittmenge existieren, es gibt keine Lösung. Mein Fehler mit dem unendlich -_-
>
> Normalform:
> y = -2x + 3
> y = -2x + 6
> Parallel mit dem Abstand [mm]\Delta[/mm] y = 3
>
> >
> > Beispiel für unlösbar:
Deshalb ist das Beispiel identisch mit oben!
> >
> > [mm]x+2y=10[/mm]
> > [mm]8x+4y=24[/mm]
> > [mm]-3x+6y=-6[/mm]
>
> Letzte 3 Zeilen:
>
> x + 2y - 10 = 0
> / 12x - 56 = 0
> / / - 80 = 0
Ich habe hier 0=-32 stehen, aber so oder so existiert auch keine Lösung!
>
> Schaut aus wie oben. Unterbestimmt/Unendlich ist dann
> Parallel und unlösbar ist es wenn was los ist? Wenn ich die
> drei Gleichungen auf die Normalform umstelle habe ich die
> Steigungen - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , [mm]\bruch{1}{2} (\Rightarrow[/mm]
> Schnittpunkt bei x=6) und - 2. Das sagt mir dann dass sie
> Schnittpunkte haben müssen, die aber zueinander (betrachtet
> man alle drei gleichzeitig) different sind. Wie kann ich
> dann unlösbare von unterbestimmten auseinander halten wenn
> ich DREI Variablen habe? Auch auf Normalform umstellen und
> schauen welche mit welcher x=x und w=w ... aufweist?
Mach es dir nur nicht so kompliziert, wichtig ist jeweils nur die letzte Zeile. unlösbar läuft immer auf einen Widerspruch hinaus, weil es ja keinen Schnittpunkt gibt! Unterdeterminiert hat damit erst einmal nichts zu tun und bedeutet nur, dass weniger Gleichungen als Varibalen zur Verfügung stehen. Das KANN, muss aber nicht, dazu führen, dass man eine unendliche Lösungsmenge erhält, weil eine abhängigkeitslösung der Form x=y rauskommt, man also kein absolutes Glied, sondern nach wie vor eine Variable in der Lösungsmenge hat und daher beliebig vieles einsetzen kann. Ich schreib dir mal zwei Merksätze ab:
"Bei nicht lösbaren Gleichungssystemen führt der Gaußalgorithmus zu Widersprüchen, an denen man erkennen kann, dass das GS nicht lösbar ist. Diese Widersprüche sehen so aus, dass bei einer Gleichung, meist der untersten, alle Variablen herausfliegen, während auf der rechten Seite eine Zahl steht, die ungleich Null ist."
ICH HABE KEIN BEISPIEL FÜR UNTERBESTIMMTE LGS GEGEBEN, sorry...ich reiche eines nach:
$ x-y=3 $
ok ist billig, verdeutlicht aber das Prinzip: keine Variable kann ohne die andere ausgedrückt werden, es gibt keinen Schnittpunkt sondern sogesehen unendlich viele.
Der Gauß-Algorithmus würde, wenn man eine Gleichung, die das Vielfache der ersten ist, hinzunimmt, das liefern:
$ x-y=3 $
$ 0=0 $
Damit ist kein Widerspruch gegeben, sondern eine wahre Aussage, die aber wegfällt und somit nur eine Gleichung übrig lässt, hieran erkennt man ein unlösbares Gleichungssystem (bzw. sehr wohl lösbar, aber nicht eindeutig)
Die Lösungsmenge lautet:
$ [mm] \IL=\{ (x,y)|x=3+y;y \in \IR \} [/mm] $
Allgemeine Vorgehensweise am Ende der Umformungen:
"7.Wenn eine Gleichung entstanden ist, die zu einem Widerspruch führt, ist das LGs unlösbar.
8. Für lösbare LGS wird abgezählt, wie viele "echte Gleichungen" übrig geblieben sind (alle Gleichungen, die nicht 0=0 lauten). Die Anzahl der "echten Gleichungen" wird nun mit der Anzahl der Variablen verglichen:
a) Es gibt genauso viele echte Gleichungen wie Varaiblen. Das LGS ist in diesem Fall eindeutig lösbar.
b) Es gibt weniger echte Gleichungen als Variablen. Das LGS ist in diesem Fall unterbestimmt. Wenn eine echte Gleichung weniger existiert, ist es einfach unterbestimmt. Entsprechend ist es für zwei echte Gleichungen weniger als Variablen zweifach unbestimmt.
Für die nächsten Lösungsschritte wird weiterhin nach a und b unterschieden.
9. a) Aus der letzten Gleichung erhält man nun direkt eine Lösung für die letzte Variable. Diese Lösung setzt man in die vorletzte Gleichung ein und berechnet auf diese Weise eine Lösung für die vorletzte Variable usw..
b) Wenn das LGS einfach unterbestimmt ist, sollte die letzte Variable als freie Variable gewählt werden. Alle anderen Variablen müssen dann abhängig von dieser Variable dargestellt werden. Dies erreicht man am besten, indem man schrittweise von unten nach oben in die Gleichungen einsetzt. Die Lösung für die anderen Variablen ist hierbei abhängig von der freien Variable auszudrücken. Wenn das LGS zweifach unterbestimmt ist, werden entsprechend die letzten beiden Variablen als frei gewählt und die anderen Variablen abhängig.
Alternativ zu dem unter a) und b) beschriebenen schrittweisen Einsetzen kann man den Gauß-Algorithmus weiter anwenden und auch oberhalb der Variablen in der Diagonalen alle Variablen eliminieren.
10. Schlißlich sollte man die Lösungsmenge angeben. Beia) ist die Lösungsmenge ein Punkt, der durch die Werte verschiedenn Variablen eindeutig beschrieben wird. Bei b) hingegen ergibt sich eine unendlicheLösungsmenge, die sollte direkt als Menge angegeben werden.2
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Die erste Aufgabe hab ich gestern noch gelöst die zweite heute Früh, wobei ich bei der 4 x 4 festgestellt habe, dass ich mich nicht von anscheinend einladenden Additionen verführen lassen darf und strickt nach Plan vorgehen muss. So war dann auch die nicht mehr so wild.
Grundsätzlich hab ich natürlich schon auch die Möglichkeit an Aufgaben ran zu kommen aber wenn du schon welche mit Lösung hast, dann immer her damit. Gerne auch mit Fallunterscheidung.... für a =... usw. Immer her damit.
Danke.
Dann schreibst du:
Die Lösungsmenge lautet (für x-y=3) :
$ [mm] \IL=\{ (x,y)|y=3+y;y \in \IR \} [/mm] $
Aber:
x =3 +y
und
y = x - 3
Fehler? Das ganze liest sich dann doch "Die Lösungsmenge ist x, y für die gilt y = 3+?y? ?wenn?y Element [mm] \IR [/mm] , oder?
Ich habs mal nur überflogen. Ich geh jetzt ne Runde zum Sport. Kopf frei machen. Dann gehts weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Do 21.05.2009 | | Autor: | Adamantin |
> Die erste Aufgabe hab ich gestern noch gelöst die zweite
> heute Früh, wobei ich bei der 4 x 4 festgestellt habe, dass
> ich mich nicht von anscheinend einladenden Additionen
> verführen lassen darf und strickt nach Plan vorgehen muss.
> So war dann auch die nicht mehr so wild.
>
> Grundsätzlich hab ich natürlich schon auch die Möglichkeit
> an Aufgaben ran zu kommen aber wenn du schon welche mit
> Lösung hast, dann immer her damit. Gerne auch mit
> Fallunterscheidung.... für a =... usw. Immer her damit.
> Danke.
>
> Dann schreibst du:
>
> Die Lösungsmenge lautet (für x-y=3) :
>
> [mm]\IL=\{ (x,y)|y=3+y;y \in \IR \}[/mm]
>
> Aber:
> x =3 +y
> und
> y = x - 3
Ja natürlich, haha XD *schäm*, ich musste so viel abtippen und die doofen Formeln bereiten mir nach Jahren hier noch probleme, weil ich diese schönen Zeichen nur mit \ I L usw. darstellen kann, was mich ziemlich nervt und dann auch noch jedes mal nen Leerzeichen, mensch, da muss man ungeduldig werden ;) Aber ich sehe ja, dass du ein pfiffiges kerlchen bist und selbst drauf gekommen bist, natürlich muss dort x=3+y stehen, denn x ist die freie Variable, die als Lösung herhalten muss. y ist dagegen eine abhängige Variable bzw natürlich beide voneinander abhängig, aber wir haben uns für x als Bezugspunkt entschieden. Und ja, man liest es genau so, also Lösungsmenge x,y für die gilt: x=3+y mit y Element in [mm] \IR
[/mm]
> Fehler? Das ganze liest sich dann doch "Die Lösungsmenge
> ist x, y für die gilt y = 3+?y? ?wenn?y Element [mm]\IR[/mm] ,
> oder?
>
> Ich habs mal nur überflogen. Ich geh jetzt ne Runde zum
> Sport. Kopf frei machen. Dann gehts weiter.
>
Gute Idee, ich habe Nachhilfe gegeben ;) Ich schreib die Aufgaben heute Abend rein.
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Hallo,
> Die Punkte P (2/2/3) und Q (4/0/3) und der Punkt [mm]R_{k}[/mm]
> (3/3/k+3) k [mm]\in \IR[/mm] legen eine Ebene [mm]E_{k}[/mm] fest. Bestimmen
> Sie eine Gleichung dieser Ebene [mm]E_{k}[/mm] in Koordinatenform.
>
> Teilergebnis (aus dem nächsten Punkt entnommen) ist:
>
> [mm]E_{k}: -kx_{1} -kx_{2} +2x_{3}[/mm] +4k-6 = 0
> Wie bekomme ich das mit dem Gaußverfahren hin?
>
> Ich wandel das normalerweise erst mal schnell in die
> Parameterform um:
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & -2 \\ 0 & -2 \\ 3 & -3 }[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 0}[/mm] Den multizliziere ich noch mit 0,5.
> Dann habe ich: 0,5 [mm]\vec{u}[/mm] = (1 / -1 / 0)
>
> Mit
>
> [mm]\overrightarrow{PR_{k}}[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & -2 \\ 3 & -2 \\ k+2 & -3 }=\vektor{1 \\ 1 \\ k}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> verfahre ich dann genauso.
hier steckt schon der Fehler!
[mm]\overrightarrow{PR_{k}}=\pmat{ 3 -2 \\ 3 -2 \\ k\green{+3} -3 }=\vektor{1 \\ 1 \\ k }[/mm]
Jetzt versuch's mal mit diesem Vektor.
>
> [mm]\Rightarrow E_{k}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> Um jetzt den Gaußalgorythmus zu verwenden, schreibe ich:
>
> I: [mm]\vmat{ x_{1} & -2 / 1 & 1 \\ x_{2} & -2 / -1 & 1 \\ x_{3} & -3 / 0 & k}[/mm]
>
> Egal was ich mache, ich komme nur auf Schmarren.
> Wie würdet ihr das addieren?
Gruß informix
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:32 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Adamantin |
Wie gesagt, es ist kein Fehler, genau das steht auch in meinem Beitrag und wie ersichtlich oder durch einfaches Nachrechnen auch sofort ersichtlich hat er k+3-3 gerechnet und auch als Endvektor mit k als z-Koordinate erhalten. Er hat sich nur verschrieben und statt einer 3 eine 2 genutzt. Die Lösung ist mit 1/1/k richtig und herleitbar
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Ich hab oben einen Fehler beim Eintippen gemacht. Auf dem Papier hatte ich es schon richtig. Es hat sich also wirklich nur um die Abfolge im Gaußalgorythmus gedreht.
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 20.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Die Punkte P (2/2/3) und Q (4/0/3) und der Punkt [mm]R_{k}[/mm]
> (3/3/k+3) k [mm]\in \IR[/mm] legen eine Ebene [mm]E_{k}[/mm] fest. Bestimmen
> Sie eine Gleichung dieser Ebene [mm]E_{k}[/mm] in Koordinatenform.
Hallo,
du weißt sicher, dass die Ebene ax+by+cz=d den Normalenvektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] besitzt?
Einen Normalenvektor erhältst du sofort, wenn du von den beiden Spannvektoren der gegebenen Ebene das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) bildest.
So erhältst du schnell Werte für a, b und c und musst nur noch den passenden Wert für d bestimmen.
Gruß Abakus
>
> Teilergebnis (aus dem nächsten Punkt entnommen) ist:
>
> [mm]E_{k}: -kx_{1} -kx_{2} +2x_{3}[/mm] +4k-6 = 0
> Wie bekomme ich das mit dem Gaußverfahren hin?
>
> Ich wandel das normalerweise erst mal schnell in die
> Parameterform um:
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & -2 \\ 0 & -2 \\ 3 & -3 }[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 0}[/mm] Den multizliziere ich noch mit 0,5.
> Dann habe ich: 0,5 [mm]\vec{u}[/mm] = (1 / -1 / 0)
>
> Mit
>
> [mm]\overrightarrow{PR_{k}}[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & -2 \\ 3 & -2 \\ k+2 & -3 }[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ k}[/mm]
> verfahre ich dann genauso.
>
> [mm]\Rightarrow E_{k}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> Um jetzt den Gaußalgorythmus zu verwenden, schreibe ich:
>
> I: [mm]\vmat{ x_{1} & -2 / 1 & 1 \\ x_{2} & -2 / -1 & 1 \\ x_{3} & -3 / 0 & k}[/mm]
>
> Egal was ich mache, ich komme nur auf Schmarren.
> Wie würdet ihr das addieren?
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Was ist denn ein Spannvektor?
Kannst du es vielleicht einmal vormachen?
Noch eine Frage.
Die Konstante im [mm] \IR^{2} [/mm] kann ich mir vorstellen aber wie läuft das im [mm] \IR^{3}? [/mm] Inwiefern wird der Graph da verschoben?
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> Was ist denn ein Spannvektor?
Hallo,
die Spannvektoren einer Ebene in Parameterform sind die beiden Richtungsvektoren.
Aus dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Richtungsvektoren erhältst Du einen Normalenvektor der Ebene.
> Noch eine Frage.
> Die Konstante im [mm]\IR^{2}[/mm] kann ich mir vorstellen aber wie
> läuft das im [mm]\IR^{3}?[/mm] Inwiefern wird der Graph da
> verschoben?
Hm. Ganz genau weiß ich nicht, was Du meinst...
Redest Du von der "nackten" Zahl in der Koordinaten- bzw. Normalenform der Ebenengleichung?
Wenn Dein Normalenvektor normiert ist, also die Länge 1 hat, dann gibt diese Zahl den Abstand vom Ursprung an.
Gruß v. Angela
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Ok. Der Abstand zum Ursprung. Das dachte ich mir schon. Aber in welche Richtung?
"Aus dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Richtungsvektoren erhältst Du einen Normalenvektor der Ebene."
Wenn ich also die Spannvektoren (2 / 3 / 4) und (5 / 6 / 7) habe, schreibe ich:
[mm] \vec{u} \times \vec{v} [/mm] = [mm] \pmat{ 3*7 & -4*6 \\ 4*5 & -2*7 \\ 2*6 & -3*5 } [/mm]
= (-3 / 6 / -3 )
Wie komme ich jetzt noch zu meiner konstante k in :
[mm] -3x_{1} [/mm] + [mm] 6x_{2} -3x_{3} [/mm] + k =0 ??
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> Ok. Der Abstand zum Ursprung. Das dachte ich mir schon.
> Aber in welche Richtung?
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> "Aus dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden
> Richtungsvektoren erhältst Du einen Normalenvektor der
> Ebene."
> Wenn ich also die Spannvektoren (2 / 3 / 4) und (5 / 6 /
> 7) habe, schreibe ich:
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> [mm]\vec{u} \times \vec{v}[/mm] = [mm]\pmat{ 3*7 & -4*6 \\ 4*5 & -2*7 \\ 2*6 & -3*5 }[/mm]
>
> = (-3 / 6 / -3 )
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> Wie komme ich jetzt noch zu meiner konstante k in :
>
> [mm]-3x_{1}[/mm] + [mm]6x_{2} -3x_{3}[/mm] + k =0 ??
Der Normalenvektor stimmt
Jetzt brauchst du nur noch die Beziehung:
$ [mm] E:[\vec{x}-\vec{p}]*\vec{n}=0 [/mm] $ Denn dafür gibt es ja den normalenvektor, weil man mit ihm wunderbar leicht eine Ebenengleichung aufstellen kann, und jetzt folgt durch einfaches ausmultiplizieren:
$ [mm] \vec{x}*\vec{n}-\vec{p}*\vec{n}=0 [/mm] $
$ [mm] \vec{x}*\vec{n}=\vec{p}*\vec{n} [/mm] $
Demzufolge, da der Vektor x ja nichts anderes als x,y,z in [mm] R^3 [/mm] ist, folgt:
$ -3x+6y-3z=d $
Ich sehe gerade, du hast einen Fehler gemacht, deine Spannvektoren sind falsch, wir haben ja gar kein k! Aber dafür stimmt der Weg oben formal!
Dein einer Spannvektor ist der Vektor PQ, der andere ist doch ein Vektor entweder aus R_kQ oder R_kP, also nochmal :p
Aber ich habe auf diese Erklärung verzichtet, weil ich davon ausging, dass ihr noch keine Normalenform hattet
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> Wie komme ich jetzt noch zu meiner konstante k in :
>
> [mm]-3x_{1}[/mm] + [mm]6x_{2} -3x_{3}[/mm] + k =0 ??
Hallo,
Du nimmst nun einen Punkt, von dem Du weißt, daß er in Deiner Ebene liegt, und setzt seine Koordinaten für x,y,z ein, und daraus erhältst Du Dein k.
EDIT: ich hab' was vergessen.
> Ok. Der Abstand zum Ursprung. Das dachte ich mir schon. Aber in welche Richtung?
Wenn Du den Normalenvektor normiert hast zu [mm] \vektor{n_1\\n_2\\n_3}, [/mm] und wenn Dein k in der Gleichung
[mm] n_1x+n_2y+n_3z\red{-}k=0
[/mm]
positiv ist, dann zeigt [mm] \vektor{n_1\\n_2\\n_3} [/mm] vom Ursprung auf Deine Ebene.
Gruß v. Angela
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Ich schrieb: "Aus dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Richtungsvektoren erhältst Du einen Normalenvektor der Ebene."
Wenn ich also die Spannvektoren (2 / 3 / 4) und (5 / 6 / 7) habe, schreibe ich:
$ [mm] \vec{u} \times \vec{v} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 3\cdot{}7 & -4\cdot{}6 \\ 4\cdot{}5 & -2\cdot{}7 \\ 2\cdot{}6 & -3\cdot{}5 } [/mm] $
= (-3 / 6 / -3 )
Wie komme ich jetzt noch zu meiner konstante k in :
$ [mm] -3x_{1} [/mm] $ + $ [mm] 6x_{2} -3x_{3} [/mm] $ + k =0 ?? "
Also. Ich habe die beiden fiktiven Spannvektoren oben mit [mm] a_{1,2,3} [/mm] = (2 / 3 / 4) und [mm] b_{1,2,3} [/mm] = (5 / 6 / 7) angegeben. Dann entnehme ich aus der Formelsammlung:
[mm] \vec{u} \times \vec{v} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ a2\cdot{}b3 & -a3\cdot{}b2 \\ a3\cdot{}b1 & -a1\cdot{}b3 \\ a1\cdot{}b2 & -a2\cdot{}b1 } [/mm] = (-3 / 6 / -3 )
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muss ich jetzt noch z.B. den Aufpunkt einsetzen. (Weil der Aufpunkt ja auf meiner Ebene liegt.)
Angenommener Aufpunkt:
(8/9/10)
Einsetzen:
-3(8)+6(9)-3(10) = [mm] 0_{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] E: [mm] \vec{x} [/mm] = -3x +6y -3z + [mm] (0_{k}) [/mm] = 0
Vom Prinzip her richtig?
Das mit den Normalenvektoren kenn ich wirklich noch nicht. Aber das mit dem Vektorprodukt ist ziemlich cool. Wenn das passt, spare ich mir den Gaußalgorhythmus und wandel meine Ebenengleichungen in Parameterform ziemlich schnell in die Koordinatenform um.
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Hallo Semimathematiker!
Ja, das Prinzip ist nunmehr korrekt. Deine Zahlenwerte sehen auch gut aus.
Gruß vom
Roadrunner
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Na das ist ja einfach. Da wird METR (Mein elektronischer Taschenrechner :)) ab sofort den guten Gauß ersetzen und mir ein bischen Zeit einsparen.
Klasse.
Danke
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