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Forum "Geraden und Ebenen" - Aufstellen einer Ebene
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Aufstellen einer Ebene: Noch eine kleine Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Do 28.05.2009
Autor: Semimathematiker

Aufgabe
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2/10/1), B(-1/13/4) und [mm] C_{k}(-8/k/7) [/mm] mit k [mm] \in \IR [/mm] gegeben.

1.1 Stellen Sie fest, ob es Werte von k gibt, sodass A, B und [mm] C_{k} [/mm] auf einer Geraden liegen.

1.2 Die Ebene F wird durch die Punkte A, B und [mm] C_{2} [/mm] (k02) aufgespannt. Bestimmen Sie je eine Gleichung von F in Parameter- und Koordinatenform.
(mögliches Ergebnis: F: [mm] 7x_{1} -2x_{2} +9x_{3} [/mm]  = 3)

1.1)

[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & -2 \\ 13 & -10 \\ 4 & -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -3 \\ 3 \\ 3 } [/mm]

[mm] \bruch{1}{3} \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] " = [mm] \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 } [/mm]

[mm] \alpha [/mm] * [mm] \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -8 \\ k \\ 7 } \Rightarrow \alpha [/mm] = 8 ; [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 7

[mm] C_{k} [/mm] liegt nicht auf [mm] \overrightarrow{AB} [/mm]

1.2)

Erst mal erstelle ich [mm] \overrightarrow{AC_{2}} [/mm] und multipliziere diesen Vektor mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] . Jetzt erstelle ich meine Ebenengleichung in Parameterform.

Ergebnis:

F: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 10 \\ 1 } [/mm] + [mm] \alpha \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + [mm] \mu \pmat{ -5 \\ 4 \\ 3 } [/mm]

Jetzt wandel ich die Parameterform in die Koordinatenform um:

[mm] \vec{a} [/mm] " [mm] \times \vec{b} [/mm] "  = [mm] \pmat{ 1*(-3) & - 1*(-4) \\ 1*(-5) & (-1)(-3) \\ -1*(-4) & 1*(-5) } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -8 \\ 9} [/mm]

Jetzt noch die Konstante ausrechnen indem ich den Aufpunkt A (2/10/1) einsetze.

1(2) - 8(10) + 9(1) = - 69

[mm] \Rightarrow [/mm] F: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] - [mm] 8x_{2} [/mm] + [mm] 9x_{3} [/mm] -69 = 0

Mein Ergebnis ist so anders, dass ich schon wieder unsicher bin ob ich alles richtig gemacht habe. Ist es richtig oder nicht?

        
Bezug
Aufstellen einer Ebene: Aufgabe 1.1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Do 28.05.2009
Autor: Loddar

Hallo Semimathematiker!


> 1.1)
>  
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & -2 \\ 13 & -10 \\ 4 & -1 }[/mm] = [mm]\pmat{ -3 \\ 3 \\ 3 }[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{3} \vec{a}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] " = [mm]\pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }[/mm]

[ok] Etwas ungewöhnlich aufgeschrieben, aber okay.

  

> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ -8 \\ k \\ 7 } \Rightarrow \alpha[/mm]
> = 8 ; [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] = 7
>  
> [mm]C_{k}[/mm] liegt nicht auf [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]

[notok] Du musst hier die Geradengleichung durch A und B aufstellen, also mit A als Stützpunkt.

Anschließend dann die Koordinaten von $C_$ einsetzen.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Aufstellen einer Ebene: Aufgabe 1.2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Do 28.05.2009
Autor: Loddar

Hallo Semimathematiker!


> Ergebnis:
>  
> F: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 \\ 10 \\ 1 }[/mm] + [mm]\alpha \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] + [mm]\mu \pmat{ -5 \\ 4 \\ 3 }[/mm]

[notok] Da hat sich beim letzten Richtungsvektor ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Auch die 4 hat ein Minuszeichen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Aufstellen einer Ebene: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Do 28.05.2009
Autor: Semimathematiker

Danke für den Hinweis Lodda. Ich hab tatsächlich vergessen meinen zweiten Spannvektor zu berechnen. Dumm, dumm. Jetzt klappts auch mit dem Ergebnis.



Bezug
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