Aufstellen von Fnkt. 3. Grades < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Mi 14.04.2010 | | Autor: | sansouci |
| Aufgabe | | Eine ganzrationale Funktion dritten Grades geht durch den Urpsrung, hat bei x=1 ein Maximum und bei x=2 eine Wendestelle. Sie schließt mit der x-Achse ueber dem Intervall [0;2] eine Flaeche vom Inhalt 6 ein. Wie heißt die Funktionsgleichung? |
Einen wunderschoenen guten Abend!
Vielleicht liegt es an der fortgeschrittenen Stunde, aber ich komme bei der obenstehenden Aufgabe partout nicht weiter. Mein bisheriger Ansatz sieht relativ bescheiden aus:
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f"(x)=6ax+2b
[mm] F(x)=\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}+\bruch{1}{2}cx^{2}+dx
[/mm]
Und ich gehe mal davon aus, dass ein Gleichungssystem aufgestellt werden muss...
1. f'(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
2. f'(1)=0; 3a+2b+c=0
3. f"(2)=0; 12a+2b=0
Nun weiß ich jedoch nicht, welche die 4. Gleichung ist. Ich hatte es mit f(0)=0 versucht, was dann eigentlich d=0 ergeben muesste, aber das [mm] \integral_{0}^{2}{f(x) dx}=6 [/mm] muss doch auch irgendwo untergebracht werden, oder?
Ich waere unglaublich dankbar, wenn jemand mir einen Denkanstoß geben koennte. Vielen Dank im Voraus!
(Dies ist mein erster Post; bitte entschuldigt das unschoene "Schriftbild".)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mi 14.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo sansouci und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
geht durch den Ursprung heisst f(0)=0, also NICHT f'(O)=0, das wär ja eine waagerechte Tangente!
die 2 anderen Gleichungen und als 4 te Gleichung das Integral ist richtig.
Und den Editor hast du doch gut benutzt !
also jetzt nur noch die 4 Gleichungen wegen d=0 eigentlich nur 3 lösen.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:37 Do 15.04.2010 | | Autor: | sansouci |
Danke fuer die schnelle Antwort und die Verbesserung (mir ist immer noch schleierhaft, weshalb ich im Ursprung einen Extrempunkt gesehen habe, tztz).
Allerdings besteht mein Hauptproblem jetzt in der Loesung des Gleichungssystems.
Ich wollte jetzt aus (3) Folgendes machen: 12a+2b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] b=-6a Und das muesste sich doch irgendwo einsetzen lassen... Aber wahrscheinlich funktioniert das eher so, dass man die Gleichungen voneinander abzieht bzw miteinander addiert - aber wie? Irgendwie scheinen mir Gleichungssysteme vollkommen fremd geworden zu sein :(
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Hallo,
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Wenn wir Dir beim Lösen Deines Gleichungssystems helfen sollen,
müßtest Du es uns aber auch mal komplett in der aktuellen Fassung verraten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 15.04.2010 | | Autor: | sansouci |
Ups, sorry!! Danke, dass du dich dessen troz meiner Schusseligket annimmst ^^
(1) f(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] d=0
(2) f'(1)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 3a+2b+c=0
(3) f"(2)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 12a+2b=0
(4) F(2)=6 [mm] \Rightarrow 4a+\bruch{8}{3}b+2c=6
[/mm]
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> Ups, sorry!! Danke, dass du dich dessen troz meiner
> Schusseligket annimmst ^^
>
> (1) f(0)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] d=0
> (2) f'(1)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 3a+2b+c=0
> (3) f"(2)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 12a+2b=0
> (4) F(2)=6 [mm]\Rightarrow 4a+\bruch{8}{3}b+2c=6[/mm]
Hallo,
Du kannst jetzt so verfahren, wie von Dir geplant:
(3) ==> b=-6a
Dies setzt Du nun in (2) und (4) ein und erhältst zwei neue Gleichungen (2') und (4'), in denen nur noch a und c als Variablen vorkommen.
In einer dieser Gleichungen stellst Du die eine der verbleibenden Variablen frei, setzt in die andere ein und hältst den ersten Zahlenwert in den Händen.
Mit dem gehst Du nun "rückwärts " durch Deine Gleichungen.
Ach, fang einfach mal an, poste, was Du tust, und laß Dir ggf. hier im Forum weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Do 15.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du das ganze mal in ein GLS packst, bekommst du ja:
[mm] \vmat{d=0\\3a+2b+c=0\\12a+2b=0\\4a+\bruch{8}{3}b+2c=6}
[/mm]
Sortieren wir das mal nach der Variablenzahl.
[mm] \vmat{3a+2b+c=0\\4a+\bruch{8}{3}b+2c=6\\12a+2b=0\\d=0}
[/mm]
Jetzt nehmen wir mal den Bruch in Zeile 2 Weg, also Gl2*3
[mm] \vmat{3a+2b+c=0\\12a+8b+6c=18\\12a+2b=0\\d=0}
[/mm]
Jetzt haben wir in Gl2 und Gl3 schonmal 12a stehen, das sollten wir in Gl1 auch stehen haben, also Gl1*4
[mm] \vmat{12a+8b+4c=0\\12a+8b+6c=18\\12a+2b=0\\d=0}
[/mm]
Jetzt hast du eine perfekte Ausgangssituation für die Anwendung des  Gauß-Algorithmus
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Do 15.04.2010 | | Autor: | sansouci |
Tausend Dank, mit dem Gauß-Algorithmus bin ich tatsaechlich auf das richtige Ergebnis gekommen, wonach sich jetzt [mm] f(x)=3x^{3}-9x^{2}+9x [/mm] ergibt. Dann kann b=-6a zwar irgendwie nicht gestimmt haben, aber darueber muss ich mir ja jetzt keine Gedankenn mehr machen.
Also noch einmal vielen lieben Dank fuer eure Hilfsbreitschaft!
Gleichungssysteme werde ich mir eindeutig vor der naechsten Klausur nochmal eingehend anschauen muessen ;)
Gute Nacht,
Marie
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