Aufstellung von fkt.gl_3gr < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Sa 25.11.2006 | | Autor: | honzer |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades besitzt den Wendepunkt W(-2;2) und die Nullstelle -4. Die Wendetangente schneidet die x-Achse bei -3.
ich komme zu folgendem Ansatz:
f(-2)=2
f''(-2)=0
f(-4)=0
f''(-3)=0
-8a+4b-2c+d=2
-12a+2b=0
-64a+16b-4c+d=0
-18a+2b=0
Dann komme ich auf a=0 usw.
Die Lösung heißt aber angeblich: [mm] -1/4x^3-3/2x^2-x+4
[/mm]
Wo liegt mein Fehler?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Sa 25.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
du suchst die funktion
[mm] f(x)=ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] +cx + d
richtig:
f(-4)=0
0= [mm] a*(-4)^3 [/mm] + [mm] b*(-4)^2 [/mm] +c*(-4) +d (1. Gleichung)
0=-64a +16b -4c +d
f(-2)=2
2= [mm] a*(-2)^3 [/mm] + [mm] b*(-2)^2 [/mm] +c*(-2) +d
2= -8a +4b -2c + d (2. Gleichung)
[mm] f'(x)=3ax^2 [/mm] +2bx + c für später
f''(x)=6ax +2b
f''(-2)=0
0=-12a +2b (3. Gleichung)
wendetangente ermitteln
[mm] t_{w}=m_{t}x [/mm] + n
[mm] m_{t}= [/mm] f'(-2)
[mm] f'(-2)=3a*(-2)^2 [/mm] +2b*(-2) +c
f'(-2)=12a -4b +c
in tangentengleichung einsetzen...
[mm] t_{w}=(12a [/mm] -4b +c)*x + n
am punkt -3 schneidet die wendetangente die x-achse
d.h.
0=(12a -4b +c)*(-3) + n
n= 36a -12b +3c
[mm] t_{w}=12ax [/mm] -4bx +cx + 36a -12b +3c
2 = 12a(-2) -4b*(-2) +c*(-2) + 36a -12b +3c
2=-24a +8b -2c +36a -12b +3c
2=12a -4b +c (4. Gleichung)
jetzt:
2. gleichung: -12a+2b=0 => b=6a
1. gleichung: 2=12a -4*6a +c => c=12a +2
3. gleichung: 2=-8a +4*6a -2*(12a+2) +d => d= 8a +6
4. gleichung: 0=-64a +16*6a -4*(12a+2) +8a+6
=> a=- [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
b= - [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
c=-1
d=4
f(x)= [mm] -\bruch{1}{4}x^3 -\bruch{3}{2}x^2 [/mm] -x +4
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 25.11.2006 | | Autor: | honzer |
danke für die Lösung
gibt es irgendein Buch, in dem solche Aufgaben und Lösungen sind. Vor allem, in dem die Vorgehensweise bei diesen Eigenschaften erläutert wird?
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Steckbriefaufgaben