Aufzeigen vom Grenzwert Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe in Mathe1 einen Übungszettel bekommen wo wir aufzeigen sollen welche Grenzwerte verschiedene Folgen besitzen.
Zu zweien haette ich eine Frage ob man das so machen könnte oder ob das mathematisch "inkorrekt" ist :)
also die erste wäre :
"Zeigen Sie für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] a²_{n} = 0 [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0
da dachte ich mir :
a²n ist ja im endeffekt [mm] a_{n} [/mm] * [mm] a_{n} [/mm] und damit ist [mm] a_{n} [/mm] doch eine Teilfolge der Nullfolge a²_{n} und ebenfalls eine Nullfolge. Fertig ?
Bei der Zweiten ist es wie folgt :
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] und das soll eine Nullfolge sein.
Dies wiederum heisst doch
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
nun Quadriere ich beide seiten dann
(n+1) - n < [mm] \varepsilon [/mm] ²
So, nun kommt der "kritische teil" :D
ist (n+1) - n = n ?
dann wäre es ja n < [mm] \varepsilon [/mm] ² und qed.
Mfg, Christian
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ach gott ja , irgendwie hau ich mir da ab und an einen rein :)
[mm] \wurzel{n+1} -\wurzel{n} [/mm] | ²
( [mm] \wurzel{n+1} -\wurzel{n} [/mm] )² und nicht (n+1) - n :D
Was haelst du denn von der ersten Aufgabe? Kann ich das so machen?
Sry für einige "deppenfehler" :D aber wir haben irgendwie Mathe von 0 auf 100
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ach gott ja , irgendwie hau ich mir da ab und an einen rein
> :)
>
> [mm]\wurzel{n+1} -\wurzel{n}[/mm] | ²
>
>
> ( [mm]\wurzel{n+1} -\wurzel{n}[/mm] )² und nicht (n+1) - n :D
>
>
> Was haelst du denn von der ersten Aufgabe? Kann ich das so
> machen?
>
>
> Sry für einige "deppenfehler" :D aber wir haben irgendwie
> Mathe von 0 auf 100
also Tipp für (2):
[mm] $$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})*(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\,.$$
[/mm]
Zu (1): Siehe unten 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe in Mathe1 einen Übungszettel bekommen wo wir
> aufzeigen sollen welche Grenzwerte verschiedene Folgen
> besitzen.
>
> Zu zweien haette ich eine Frage ob man das so machen könnte
> oder ob das mathematisch "inkorrekt" ist :)
>
> also die erste wäre :
>
> "Zeigen Sie für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] a²_{n} = 0
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = 0
>
> da dachte ich mir :
>
> a²n ist ja im endeffekt [mm]a_{n}[/mm] * [mm]a_{n}[/mm] und damit ist [mm]a_{n}[/mm]
> doch eine Teilfolge der Nullfolge a²_{n} und ebenfalls eine
> Nullfolge. Fertig ?
nein. Absolut gar nicht. Ich meine, das Teilfolgenargument müsste dann ja bei jeder Folge gelten. Aber Gegenbeispiel:
[mm] $a_n=n+(1/2)$.
[/mm]
Hier ist [mm] $a_n^2=(n^2+n)+(1/4)$, [/mm] und alleine das zeigt schon, dass Deine Argumentation nicht greifen kann.
Und auch, wenn Du sagst: "Ne, ich bin der Überzeugung, dass das nur bei Nullfolgen so ist."
[mm] $a_n=1/p_n$ [/mm] mit [mm] $p_n=$ [/mm] $n$-te Primzahl.
Das ist ein Gegenbeispiel, alleine schon wegen [mm] $\{a_k:\;k \in \IN\} \cap \{a_n^2:\;n \in \IN\}=\emptyset\,.$ [/mm]
Du wirst hier kein Teilfolgenargument benutzen können. Es gibt aber verschiedene Argumente, eines davon kannst Du sicher zu Ende verfolgen/denken:
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(I)
Es gelte [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n^2=0\,.$ [/mm]
Wenn Du nun weißt, dass die Wurzelfunktion stetig ist, na dann...
--
Wenn ihr aber noch keine Stetigkeitsargumente benutzen dürft, dann mach' es anders, z.B. so:
--
(II)
Sei [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n^2=0\,.$ [/mm]
Für [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ist auch [mm] $\tilde{\varepsilon}:=\varepsilon^2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wähle zu [mm] $\tilde{\varepsilon}$ [/mm] ein [mm] $N=N_{\tilde{\varepsilon}}$ [/mm] mit [mm] $\left|a_n^2-0\right| [/mm] < [mm] \tilde{\varepsilon}\,$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Damit bist Du quasi auch schon fertig.
--
Oder
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(III)
Es geht auch anders, z.B. in zwei Schritten so:
Zeige
1.) Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] divergent ist, so divergiert auch [mm] $(a_n^2)_n\,.$
[/mm]
2.) Aus 1.) folgt schon (Kontraposition): Wenn [mm] $a_n^2 \to [/mm] 0$, so konvergiert [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm] Jetzt nimm' an, es wäre [mm] $a_n \to [/mm] a$ mit $a [mm] \not=0\,$ [/mm] und führe das zum Widerspruch.
--
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Ist's jetzt klarer?
Gruß,
Marcel
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Hi, danke fuer die Antwort erst einmal :) , nur hab ich dennoch noch 1-2 Fragen :)
Du meinstest ja : " $ [mm] a_n=n+(1/2) [/mm] $.
Hier ist $ [mm] a_n^2=(n^2+n)+(1/4) [/mm] $, und alleine das zeigt schon, dass Deine Argumentation nicht greifen kann. "
Ich seh es nicht das dies nicht gilt , also hier ist doch die Folge auch wieder eine Teilfolge oder nicht? (n+1/2)² = n²+n+1/4
Oder wäre es wenn dann ueberhaupt anders herum, da ich mit a²n nur die positiven Werte betrachte und dies eher eine Teifolge von an wäre ?.
Zu ( I ) , wenn die Wurzelfunktion an jedem Punkt definiert ist, was ja jede ganzrationale Funktion ist ( es sei denn es gibt Ausnahmen die ich nicht kenne :) ) wieso kann ich das dann auf die Folge a²n bzw an anwenden? :D
zu II wuerde ich es so anders formulieren, jedoch weiss ich nicht ob es stimmt. Bzw dann noch stimmt.
: wenn a²n < [mm] \varepsilon^2 [/mm] ist und damit eine Nullfolge dann muss es doch auch ein an geben das < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Anders ginge es doch :
a²n < [mm] \varepsilon^2 [/mm] | [mm] \wurzel
[/mm]
an < [mm] \varepsilon [/mm] ?
Mfg
PS : Stetigkeitsargumente hatten wir noch nicht und sagen mir leider auch nichts :(. Ich kenne nur Stetigkeit bei Funktionen , also das die Funktion an jedem Punkt definiert ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, danke fuer die Antwort erst einmal :) , nur hab ich
> dennoch noch 1-2 Fragen :)
>
> Du meinstest ja : " [mm]a_n=n+(1/2) [/mm].
>
> Hier ist [mm]a_n^2=(n^2+n)+(1/4) [/mm], und alleine das zeigt schon,
> dass Deine Argumentation nicht greifen kann. "
>
> Ich seh es nicht das dies nicht gilt , also hier ist doch
> die Folge auch wieder eine Teilfolge oder nicht? (n+1/2)²
> = n²+n+1/4
> Oder wäre es wenn dann ueberhaupt anders herum, da ich mit
> a²n nur die positiven Werte betrachte und dies eher eine
> Teifolge von an wäre ?.
nein, bei den Folgen ist keine eine Teilfolge der andere. Wie soll das gehen? Die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] besteht aus Zahlen der Art $irgendwas$ $Komma$ $5$, die Folge [mm] $(a_n^2)_n$ [/mm] aus Zahlen der Art $irgendwas$ $Komma$ $25$. Das zeigt obige Rechnung (beachte, dass [mm] $(n^2+n) \in \IN$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$)!
[/mm]
Und, grob gesagt, entsteht eine Teilfolge [mm] $(b_m)_m$ [/mm] einer Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] so, dass man alle Folgenglieder einer Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] 'von links nach rechts' aufschreibt und immer welche wegstreicht, und dann die Folge [mm] $(b_m)_m$ [/mm] auch von 'links nach rechts' damit definiert.
Genauer z.B.:
Definition ![[]](/images/popup.gif) 5.22
> Zu ( I ) , wenn die Wurzelfunktion an jedem Punkt definiert
> ist, was ja jede ganzrationale Funktion ist ( es sei denn
> es gibt Ausnahmen die ich nicht kenne :) ) wieso kann ich
> das dann auf die Folge a²n bzw an anwenden? :D
Du kannst hier die (Rechts-)Stetigkeit der Wurzelfunktion an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] verwenden. Allerdings macht's keinen Sinn, da groß was drüber zu schreiben, wenn das noch alles unbekannt ist (siehe Dein P.S.). Man bekäme damit, dass [mm] $|a_n| \to [/mm] 0$ und daher auch [mm] $a_n \to 0\,.$
[/mm]
So sähe das dann aus, wenn Du es mal sehen willst (ich schreibe kurz [mm] $\lim$ [/mm] anstatt [mm] $\lim_{n \to \infty}$):
[/mm]
[mm] $\lim a_n^2=0$ [/mm] liefert
[mm] $$\lim|a_n|=\lim\sqrt{a_n^2}\overset{\text{(Rechts-)St. der W.-funktion in }x_0=0}{=}\sqrt{\lim a_n^2}=\sqrt{0}=0\,.$$
[/mm]
> zu II wuerde ich es so anders formulieren, jedoch weiss ich
> nicht ob es stimmt. Bzw dann noch stimmt.
>
> : wenn a²n < [mm]\varepsilon^2[/mm] ist und damit eine Nullfolge
> dann muss es doch auch ein an geben das < [mm]\varepsilon[/mm]
> ist.
>
> Anders ginge es doch :
> a²n < [mm]\varepsilon^2[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
>
> an < [mm]\varepsilon[/mm] ?
>
> Mfg
>
>
>
> PS : Stetigkeitsargumente hatten wir noch nicht und sagen
> mir leider auch nichts :(. Ich kenne nur Stetigkeit bei
> Funktionen , also das die Funktion an jedem Punkt definiert
> ist.
So ähnlich:
Wegen [mm] $a_n^2 \to [/mm] 0$ findet man zu gegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $N$ mit [mm] $|a_n^2| [/mm] < [mm] \varepsilon^2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$.
(Genauer: siehe die Aussage mit dem [mm] $\tilde{\varepsilon}$ [/mm] im Post oben.)
Das ist aber gleichbedeutend mit [mm] $\blue{|a_n|} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N.$ Also gilt [mm] $a_n \to [/mm] 0$.
P.S.:
Bitte beachte, dass für $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt: [mm] $\sqrt{r^2}=|r|\,.$ [/mm] Du hast oben [mm] $\sqrt{a_n^2}=a_n$ [/mm] behauptet, das ist nur richtig, wenn [mm] $a_n \ge 0\,.$...
[/mm]
Das man [mm] $\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon$ [/mm] schreiben kann, liegt daran, dass [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ist...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Sa 01.11.2008 | | Autor: | glamcatol |
Ahhh, alles klar.
Nun habe ich es verstanden. Danke Dir! :)
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
