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Hallo Leute! Heute muss ich mal in das Schulforum etwas reinstellen( bin ja eigentlich auch STudentin),
Meine Nachhilfeschülerin macht jetzt Stochastik( was ich noch nie in meinem Leben hatte.
Ihre Aufgaben:
1) Wie viele verschiedene Augenbilder gibt es bei einem Wurf von 5 nicht unterscheidbaren Würfeln?
2) Bei wievielen kommt mindestens eine 6 vor?
3) Bei wievielen tritt 6 in einer geraden Zahl auf.
ICh finnde es recht peinlich, dass ich ihr nicht helfen kann und habe mich mal ein wenig schlaugemacht ( was mich nihct viel weitergebracht hat). Habe eine Formel für [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] gefunden.
Wäre es richtig bei Aufgabe eins dann für n = 5 ( die Anzahl der verschiedenen Würfel) und für k= 30 ( Anzahl der Würfel gesamt zu setzen)?
Muss ich bei Aufgabe zwei dann für n=1 und für k= 5 setzen?
Bei 3) muss ich doch sicher dann eine Adiition ausführen, oder?
Wäre echt super, wenn mir jemand helfen würde, damit ich bei ihr nicht total dumm da stehe.
Danke!!!
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Hallo!
> Hallo Leute! Heute muss ich mal in das Schulforum etwas
> reinstellen( bin ja eigentlich auch STudentin),
> Meine Nachhilfeschülerin macht jetzt Stochastik( was ich
> noch nie in meinem Leben hatte.
> Ihre Aufgaben:
> 1) Wie viele verschiedene Augenbilder gibt es bei einem
> Wurf von 5 nicht unterscheidbaren Würfeln?
> 2) Bei wievielen kommt mindestens eine 6 vor?
> 3) Bei wievielen tritt 6 in einer geraden Zahl auf.
>
> ICh finnde es recht peinlich, dass ich ihr nicht helfen
> kann und habe mich mal ein wenig schlaugemacht ( was mich
> nihct viel weitergebracht hat). Habe eine Formel für
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] gefunden.
Das muss Dir nicht peinlich sein. Diese Kombinatorikregel wird von vielen Lehrbüchern verschwiegen (nicht behandelt).
Die Formel sollte ${n+k-1 [mm] \choose [/mm] k}$ sein, wobei aus einer Menge von $n$ Elementen $k$-mal gezogen wird, die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird und Wiederholungen erlaubt sind. Hier also $k=5$ und $n=6$. Die Formel erklärt sich so (speziell für diesen Fall):
Ein Ergebnis beim Würfelwurf ist z.B. $(1,2,1,4,3)$. Da es auf die Reihenfolge nicht ankommt, können wir das der Größe nach sortieren $(1,1,2,3,4)$, und es ist nur wichtig, wie oft jede einzelne Ziffer auftaucht. Nun kann man dieses Ergebnis auch so darstellen:
00x0x0x0xx.
Darunter stellt man sich vor, dass auf 10 Plätzen 5 Trennstriche (gekennzeichnet durch x, die freien Plätze werden mit 0 gekennzeichnet) untergebracht werden, was wie folgt interpretiert wird: Die Anzahl der freien Plätze zwischen den Trennstrichen (und den Rändern) entspricht der Anzahl der einzelnen Ziffern, wobei von links nach rechts erst die Anzahl an 1en, dann die Anzahl an 2en bis zur Anzahl an 6en abgelesen werden kann. Obige Darstellung bedeutet also:
2 Einsen, 1 Zwei, 1 Drei, 1 Vier, keine Fünf, keine Sechs. Noch ein Beispiel: $(4,4,4,6,6)$ entspricht
xxx000xx00.
Du siehst, dass man so eine bijektive Abbildung definiert. Die Anzahl von unterschiedlichen Augenbildern entspricht nun der Anzahl an Möglichkeiten, auf 10 Plätzen 5 Trennstriche zu platzieren, und das ist gerade
[mm]{10\choose 5}.[/mm]
Das geht natürlich auch allgemein mit $n$ und $k$, aber ich glaube, so ist es anschaulicher.
> Wäre es richtig bei Aufgabe eins dann für n = 5 ( die
> Anzahl der verschiedenen Würfel) und für k= 30 ( Anzahl der
> Würfel gesamt zu setzen)?
Nein (s.o.)
> Muss ich bei Aufgabe zwei dann für n=1 und für k= 5
> setzen?
Das würde keinen vernünftigen Ausdruck für den Binomialkoeffizient ergeben. Versuch diese Aufgabe mal mit obigem Hilfsmittel. Du musst Dir nur überlegen, welche Auswirkungen diese Forderung auf die Trennstriche hat.
> Bei 3) muss ich doch sicher dann eine Adiition ausführen,
> oder?
Dito.
Viele Grüße
Brigitte
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HI!
Erstmal großen Dank für Deine Antwort.
ICh muss mich da erstmal noch genau reinlesen, um deine Sache zu verstehen.
Das mit den x und 0 ist mir noch nie im Studium begegnet. Werde mir das nochmals genauer anschauen. Warum jetzt 5 und 6 eingesetzt werden ist mir auch noch nicht ganz klar, kommt das, weil es fünf Würfel sind, und jeder 6 Flächen hat?
Übertragen kann ich das was Du gesagt hast auch noch nihct ganz auf die Aufgabe. Werde mich aber noch daran setzen und mich dann ggf. später nocheinmal melden.
Also Danke nocheinmal.
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Hallo!
> Erstmal großen Dank für Deine Antwort.
> ICh muss mich da erstmal noch genau reinlesen, um deine
> Sache zu verstehen.
> Das mit den x und 0 ist mir noch nie im Studium begegnet.
Wie gesagt, diese Art der Fragestellung kommt meistens zu kurz. Vielleicht gibt es auch noch bessere Varianten, die Formel zu erklären, ich finde diese am einleuchtendsten. Vielleicht hätte ich auch statt x einfach | als Trennstrich nehmen sollen. Als weitere Erläuterung kann ich noch Folgendes hinzufügen.
Das Ergebnis $(1,1,2,3,4)$ kann ich auch als $(2,1,1,1,0,0)$ interpretieren, wobei in diesem Vektor die Anzahlen der verschiedenen Ziffern drinstehen (2 Einsen, 1 Drei usw.). Die verschiedenen Augenbilder sind ja genau solche Tupel
[mm] $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ [/mm] mit [mm] $x_i\in\IN_0$ [/mm] und [mm] $\sum_i x_i=5$. [/mm] Obiges Tupel kann ich mit 0 und | auch so darstellen:
[mm] \underbrace{00}_{2}|\underbrace{0}_{1}|\underbrace{0}_{1}|\underbrace{0}_{1}||
[/mm]
> Werde mir das nochmals genauer anschauen. Warum jetzt 5 und
> 6 eingesetzt werden ist mir auch noch nicht ganz klar,
> kommt das, weil es fünf Würfel sind, und jeder 6 Flächen
> hat?
Genau!
Du musst immer 5 Mal die 0 haben, wegen [mm] $\sum_i x_i=5$ [/mm] (Anzahl der Würfel). Und die 5 Trennstriche brauchst Du, um insgesamt 6 Anzahlen ablesen zu können (für jede Ziffer von 1 bis 6 eine Anzahl).
> Übertragen kann ich das was Du gesagt hast auch noch nihct
> ganz auf die Aufgabe. Werde mich aber noch daran setzen und
> mich dann ggf. später nocheinmal melden.
> Also Danke nocheinmal.
Gern geschehen. Viel Erfolg!
Brigitte
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Also, Soweit habe ich das dann wohl (/ dank Deiner Erklärungen) verstanden, und hoffe es meiner Schülerin morgen erklären zu können. Bei Aufgabe 1) kommen also 252 verschiedene Bilder heraus.
Nun gibt es ja Aufgabe zwei.
Ich habe mir überlegt, dass k=5 ja bleibt, denn ich behalte ja die Anzahl der WÜrfel. DAs, was sich allein ändert ist ja, dass ich jetzt nur noch die Sechser- Bilder wissen will, egal wie viele Sechsen darin sind.Müsste ich dann was an n ändern, richtig? Eigtntlich müsste ich ja alle Bilder mit einer Sechs, alle mit zwei sechsen, alle mit drei Sechsen,...bis fünf ausrechnen.
UNd dabei die Bilder nicht unterscheiden, weil es ja nicht unterscheidbare Würfel sind.
Oh man, ganz schön dumme Situation, wenn man das schon selbst nicht versteht es jemand anderem zu erklären.
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Hallo!
> Also, Soweit habe ich das dann wohl (/ dank Deiner
> Erklärungen) verstanden, und hoffe es meiner Schülerin
> morgen erklären zu können. Bei Aufgabe 1) kommen also 252
> verschiedene Bilder heraus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun gibt es ja Aufgabe zwei.
> Ich habe mir überlegt, dass k=5 ja bleibt, denn ich
> behalte ja die Anzahl der WÜrfel. DAs, was sich allein
> ändert ist ja, dass ich jetzt nur noch die Sechser- Bilder
> wissen will, egal wie viele Sechsen darin sind.Müsste ich
> dann was an n ändern, richtig? Eigtntlich müsste ich ja
> alle Bilder mit einer Sechs, alle mit zwei sechsen, alle
> mit drei Sechsen,...bis fünf ausrechnen.
> UNd dabei die Bilder nicht unterscheiden, weil es ja nicht
> unterscheidbare Würfel sind.
Genau. Wenn man das auf das von mir vorgestellte Modell überträgt, heißt das doch nur, dass kein Trennstrich
auf der 10. Position (Erinnerung: insgesamt gibt es für jeden Trennstrich $n+k-1=10$ Möglichkeiten der Platzierung) sein darf, da sonst [mm] $x_6=0$ [/mm] wäre. Das heißt, es geht nun darum, die 5 Trennstriche auf die 9 Möglichkeiten davor zu verteilen. Dafür gibt es [mm] ${9\choose 5}$ [/mm] Möglichkeiten.
Ich habe darüber nachgedacht, ob es auch funktioniert, dass man einfach einen Würfel mit 6 festlegt und die Möglichkeiten der Bilder für die übrigen 4 Würfel betrachtet. Dann wäre $n=6$ (mögliche Augenzahlen für jeden der vier Würfel) und $k=4$ (Würfel), also ${6+4-1 [mm] \choose 4}={9\choose 5}$ [/mm] Möglichkeiten. Passt also auch 
> Oh man, ganz schön dumme Situation, wenn man das schon
> selbst nicht versteht es jemand anderem zu erklären.
Ich denke, Du hast schon ziemlich viel verstanden. Wenn Du es erklären musst, verstehst Du wahrscheinlich den Rest 
Viele Grüße
Brigitte
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