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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Irmchen |
Schönen guten Morgen!
Ich beschäftige mich im Moment mit dem Beweis, dass aus der Slater-Bedingung die MCQ folgt. Ich habe eine beweis dazu gefunden, jedoch kann ich mir eine Ungleichung nicht erklären. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand dabei behilflich sein könnte.
Zu zeigen:
Erfüllt ein konvexe Minimierungsproblem [mm] \min f(x) [/mm] unter [mm] g(x) \le 0 [/mm] mit stetig differenzierbaren [mm] f: \mathbb R^n \to \mathbb R , \ g:\mathbb R^n \to \mathbb R^m [/mm] die Slater-Bedingng , dann gilt in jedem zulässigen Punkt die MFCQ-Bedingung.
Beweis:
Für alle [mm] i \in \{1,...,m \} [/mm] und alle [mm] x, y \in \mathbb R^n [/mm] gilt die Ungleichung:
(* ) [mm] g_i (y) + \nabla g_i^T ( x - y ) \le g_i (x) [/mm]
Warum gilt (*) ?
Da die Slater-Bedingung erfüllt ist, existiert ein zulässiger Punkt [mm] \overline{x} \ibn \mathbb R^n [/mm] mit
[mm] g_i ( \overline{x} ) < 0 [/mm]
Dann ist
[mm] g_i (y) + \nabla g_i^T ( \overline{x} - y ) \le g_i ( \overline{x} ) [/mm]
Für [mm] i \in I(y) [/mm] gilt [mm] g_i(y) = 0 [/mm] und somit
[mm] \nabla g_i^T ( \overline{x} - y ) \le g_i ( \overline{x} ) < 0 [/mm]
Somit gilt für jeden zulässigen Punkt [mm] y \in \mathbb R^n [/mm] die MFCQ - Bedingung mit [mm] d:= \overline{x} - y [/mm].
Ich hoffe, dass mir jemand erklären kann wie die Ungleichung zustande kommt.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mi 04.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo
Die Ungleichung (*) ist die Konvexität.
Also Definition habe ich in meinem Hefter stehen:
g konvex auf X
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $g_i(y)-g_i(x)\ge\nabla g_i(x)^T(y-x)$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$
Umgeformt ergibt das
[mm] $g_i(x)+\nabla g_i(x)^T*(y-x)\le g_i(y)$
[/mm]
Damit hast du deine Ungleichung.
War das verständlich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Super, vielen Dank!
Viele liebe Grüße
Irmchen
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