Aus p irred. folgt (p) maximal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe hier einen wichtigen Satz, den ich versuche nachzuarbeiten.
Beim Beweis habe ich nur ein Frage bezüglich einer Richtung, wo ich total auf dem Schlauch stehe...
Satz :
Sei R ein Hauptidelring und [mm] p \in R [/mm] eine von 0 verschiedene Nichteinheit. Dann sind äquivalent:
(i) p ist irreduzibel
(ii) P ist Primelement
(iii) (p) ist maximales Ideal in R
Beweis :
(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (iii):
Sei p irreduzibel und sei [mm] \mathfrak{a} = (a) [/mm] ein Ideal in R mit
[mm] (p) \subset (a) \subset R [/mm].
Dann existiert ein [mm] c \in R [/mm] mit [mm] p = ac [/mm].
Da p irreduzibel ist, folgt [mm] a \in R^{ \*} [/mm] oder [mm] c \in R^{ \*} [/mm] .
In ersten Fall hat man (a) = R und im zweiten (a) = (p). Somit ist (p) maximal .
So, ist kann diesen rot markierten Abschnitt nicht nachvollziehen.
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mo 13.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi noch mal!
> (i) [mm]\Rightarrow[/mm] (iii):
>
> Sei p irreduzibel und sei [mm]\mathfrak{a} = (a)[/mm] ein Ideal in R
> mit
> [mm](p) \subset (a) \subset R [/mm].
> Dann existiert ein [mm]c \in R[/mm]
> mit [mm]p = ac [/mm].
> Da p irreduzibel ist, folgt [mm]a \in R^{ \*}[/mm]
> oder [mm]c \in R^{ \*}[/mm] .
> In ersten Fall hat man (a) = R und im zweiten (a) = (p).
> Somit ist (p) maximal .
Wenn a eine Einheit ist, ist das von a erzeugte Hauptideal der ganze Ring, weil die 1 in dem Ideal liegt. Wenn c eine Einheit ist, dann ist (p) = pR = acR = aR = (a), weil cR = R ist. Wenn dir die letzte Gleichung nicht sonnenklar ist, solltest du sie getrennt beweisen!
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Es hakt bei mir an nur einer Sache, die wahrscheinlich trivial , und zugleich ein dämliche Frage ist...
Wenn a Einheit ist, d.h es gibt ein Element r [mm] \in [/mm] R mit ra = 1.
Somit ist
[mm] (a) = aR = \{ a \cdot r \ | \ r \in R \} [/mm] das zu a gehörige Hauptideal und da a Einheit ist, enthält us sogar die 1!
Aber warum ist das der ganze Ring?
Viele Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 13.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Wenn a Einheit ist, d.h es gibt ein Element r [mm]\in[/mm] R mit ra
> = 1.
> Somit ist
> [mm](a) = aR = \{ a \cdot r \ | \ r \in R \}[/mm] das zu a gehörige
> Hauptideal und da a Einheit ist, enthält us sogar die 1!
> Aber warum ist das der ganze Ring?
Och Irmchen, weil 1R = R ist. Ideale enthalten mit jedem Element seine Vielfachen, und die Vielfachen der 1 sind doch der ganze Ring.
Klaro?
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Natürlich ist das klar!!!!
Alleine schon am Beispiel vom kommutativen Ring [mm] \mathbb Z [/mm].
Weiß auch nicht, warum mir das nicht klar war.....
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