Ausdruck vereinfachen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe lautet ungefähr so:
[mm] (\bruch{1}{2}e^{i*390°}(1+i*\wurzel{3}))^3
[/mm]
Man soll diesen Ausdruck vereinfachen.
Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie es funktionieren könnte?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Aufgabe lautet ungefähr so:
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> [mm](\bruch{1}{2}e^{i*390^{o}}(1+i*\wurzel{3}))^3[/mm]
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> Man soll diesen Ausdruck vereinfachen.
>
> Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie es funktionieren
> könnte?!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist [mm] e^{i\varphi}=e^{i*(\varphi+k*360^{o})}.
[/mm]
Das hilft schonmal.
Dann kannst Du die komplexe Zahl [mm] 1+i*\wurzel{3} [/mm] trigonometrische Form [mm] r(cos\alpha+i*sin\alpha) [/mm] umwandeln,
und danach in die Exponentialform [mm] e^{i\alpha}.
[/mm]
Schau mal in der Literatur/Mitschrift/Internet wie das geht.
Wenn Du dann zwei Zahlen der Form "e hoch irgendwas" dastehen hast, ist das Multiplizieren in der Klammer leicht.
Und das Potenzieren auch.
Leg' mal los - wir erwarten von Dir, daß Du auch ein wenig nachliest und probierst.
LG Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Meine Vorgehensweise:
[mm] (\bruch{1}{2}e^{i390°}(1+i\*\wurzel{3}))^3
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{2}e^{i390°}(\wurzel{2}\*e^{i45°}\*\wurzel{3}))^3
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{2}e^{i390°}(\wurzel{6}\*e^{i45°}))^3
[/mm]
[mm] (\bruch{\wurzel{6}}{2} \*e^{i435°})^3
[/mm]
Sind die Schritte richtig?
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Hallo,
> Meine Vorgehensweise:
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> [mm](\bruch{1}{2}e^{i390°}(1+i\*\wurzel{3}))^3[/mm]
>
> [mm](\bruch{1}{2}e^{i390°}(\wurzel{2}\*e^{i45°}\*\wurzel{3}))^3[/mm]
Was ist da in der Klammer passiert?
Du hast [mm]z=1+i\sqrt{3}[/mm]
Dann ist [mm]|z|=\sqrt{1^2+\sqrt 3^2}=2[/mm], also [mm]|z^3|=|z|^3=8[/mm]
Und [mm]\arg(z)=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\arctan(\sqrt{3})=...[/mm]
Das ist ein nicht allzu unbekannter Wert.
Damit ist dann [mm]\arg(z^3)=...[/mm]
>
> [mm](\bruch{1}{2}e^{i390°}(\wurzel{6}\*e^{i45°}))^3[/mm]
>
> [mm](\bruch{\wurzel{6}}{2} \*e^{i435°})^3[/mm]
>
> Sind die Schritte richtig?
Nein ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
nach ihren Schritten kommt folgendes raus:
[mm] (\bruch{1}{2}e^{i390}((2e^{i60}))^3
[/mm]
Zusammenfassen: [mm] (1\*e^{i450})^3
[/mm]
Richtig?
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Hallo kakashi!
> nach ihren Schritten kommt folgendes raus:
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> [mm](\bruch{1}{2}e^{i390}((2e^{i60}))^3[/mm]
>
> Zusammenfassen: [mm](1\*e^{i450})^3[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist aber noch nicht das Endergebnis.
Und bitte schreibe zwingend auch immer das Gradzeichen hier dazu, damit man das nicht mit Werten im Bogenmaß verwechseln kann.
Gruß vom
Roadrunner
PS: Du darfst hier im Forum gerne jeden mit "Du" anreden, wenn Du magst.
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Hallo Roadrunner,
danke für deine Antwort.
Soll ich dann die 1 [mm] \* [/mm] 3 nehmen, und die 450° [mm] \* [/mm] 3 ?
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Hallo!
> Soll ich dann die 1 [mm]\*[/mm] 3 nehmen, und die 450° [mm]\*[/mm] 3 ?
Nicht ganz.
Du musst rechnen: [mm] $1^3$ [/mm] bzw. [mm] $450^\circ*3$ [/mm] , da gemäß den  Potenzgesetzen gilt:
[mm] $\left( \ 1*e^{i*450^\circ} \ \right)^3 [/mm] \ = \ [mm] 1^3*\left( \ e^{i*450^\circ} \ \right)^3 [/mm] \ = \ [mm] 1^3*e^{i*450^\circ*3} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo kakashi,
es geht auch genau in der Gegenrichtung von der, die Angela vorschlägt. Beides klappt.
> Die Aufgabe lautet ungefähr so:
"Ungefähr" ist gut. 
> [mm](\bruch{1}{2}e^{i*390°}(1+i*\wurzel{3}))^3[/mm]
>
> Man soll diesen Ausdruck vereinfachen.
Schön. Dann fangen wir doch mal bei den 390° an. Da kann man (warum eigentlich?) auch 30° schreiben. Die Frage in Klammern ist natürlich eine Fangfrage.
> Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie es funktionieren
> könnte?!
Wenn man jetzt mal den guten alten Euler weckt, kann man [mm] e^{i*30^{\circ}} [/mm] ja gut darstellen.
Dann die inneren Klammern ausmultiplizieren, erst dann die dritte Potenz ermitteln (das geht auch ganz gut ohne Polardarstellung), fertig.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Das sollst Du übrigens, und bitte nur wahrheitsgemäß, deswegen angeben, damit wir nicht nochmal bei Null anfangen, wenn ein anderes Forum vielleicht schon viel weiter ist. Arbeitsökonomie.
Will heißen: wenn Du die Frage woanders stellst, gib bitte einen genauen Link an. Wir gucken dann ganz selbständig nach...
Grüße
reverend
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