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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:15 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Foto |
Hallo,
ich habe bald eine mündliche Prüfung in Lineare Algebra. Ich habe typische Fragen von meinem Dozenten vor mir liegen und würde gerne wissen, ob die Antwort eurer Meinung nach ausreicht bzw. stimmt.
1) Warum ist die Dimension eindeutig?
Weil die Dimension definiert ist als die Anzahl der Basiselemente und alle Basen eines Vektorraums die gleiche Mächtigkeit besitzen.
2) Warum haben alle Basen gleich viele Elemente?
Also für diese Aussage haben wir einen Satz in der VL gehabt, den würde ich normalerweise aufsagen, aber eine Freundin meinte er möchte an dieser Stelle den Bezug zur Linearkombination. Nur weiß ich nicht genau, was er hier hören möchte. Jemand eine Idee?
3) Was ist V/Kern (A) (Homomrphiesatz)?
Das ist die Faktorgruppe von V nach Kern(A). V/Kern(A)= {v+Kern(A): v [mm] \in [/mm] V}
4) Typische Elemente aus V/Kern (A)? Reicht hier: V/Kern(A)= {v+Kern(A): v [mm] \in [/mm] V} ?
5) Zusammenhang zwischen lineare Abbildungen und Matrizen?
Man hat zwei Vektorräume V und W mit Basen B1={v1,...,vn} von V und B2={w1,...,wm} von W. Für A [mm] \in [/mm] Hom(V,W) hat man Avj= [mm] \summe_{i=m}^{n} a_{ij} w_{i} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n mit geeigneten [mm] a_{ij} \in [/mm] K.
Die Koeffizienten [mm] a_{ij} [/mm] sind durch A eindeutig bestimmt. Der linearen Abbildug A ordnet man das folgende Koeffizientenschema zu [mm] B2A_{B1}= (a_{ij}) [/mm] i=1,...,m j=1,...,n
Mein Dozent möchte, dass man das nicht so "auswendig" aufsagt, sondern auch mit eigenen Worten erklärt. Nur fällt mir das hierbei sei schwer. Habt ihr da Ideen? Ich habe mir das schon an einem Beispiel verdeutlicht, aber kann es trotzdem nicht erklären.
Würde der "Satz" auch ausreichen, um den Zusammenhang zwischen Basen und linearen Abbildungen zu erklären?
6) Was ist, wenn man andere Matrizen als B1 und B2 nimmt?
Hier weiß ich überhaupt nicht worauf er hinaus will. Ich habe den Tipp bekommen, dass es was mit Basiswechsel zu tun hat.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:38 Di 16.12.2014 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Foto!
Ich lasse die Frage mal als nur teilweise beantwortet markiert, da ich mir selbst nicht sicher bin, was der Prüfer hören will.
Vielleicht kann ja jemand anderes noch seine Einschätzung ergänzen.
> 1) Warum ist die Dimension eindeutig?
> Weil die Dimension definiert ist als die Anzahl der
> Basiselemente und alle Basen eines Vektorraums die gleiche
> Mächtigkeit besitzen.
Ich bin mir nicht sicher, worauf der Prüfer hinaus will.
Aber wahrscheinlich in der Tat darauf, dass alle Basen eines endlich-dimensionalen Vektorraumes die gleiche (endliche) Anzahl an Elementen besitzen.
> 2) Warum haben alle Basen gleich viele Elemente?
> Also für diese Aussage haben wir einen Satz in der VL
> gehabt, den würde ich normalerweise aufsagen, aber eine
> Freundin meinte er möchte an dieser Stelle den Bezug zur
> Linearkombination. Nur weiß ich nicht genau, was er hier
> hören möchte. Jemand eine Idee?
Wahrscheinlich möchte er die Beweisidee dieses Satzes aus der Vorlesung hören.
> 3) Was ist V/Kern (A) (Homomrphiesatz)?
> Das ist die Faktorgruppe von V nach Kern(A). V/Kern(A)=
> $\{$v+Kern(A): v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V$\}$
V/Kern(A) ist nicht nur eine Gruppe, sondern sogar wieder ein Vektorraum, der sogenannte Quotienten-Vektorraum von V nach Kern(A).
Die "unterliegende Menge" dieses Vektorraumes hast du korrekt angegeben.
Zu der vollständigen Definition gehören noch die Addition und die skalare Multiplikation in diesem Vektorraum.
Ich glaube aber, der Prüfer will gar nicht die Definition haben, sondern will wissen was wir gemäß Homomorphiesatz über V/Kern(A) wissen:
Dieser Vektorraum ist isomorph zu ...
> 4) Typische Elemente aus V/Kern (A)? Reicht hier:
> V/Kern(A)=$ \{$v+Kern(A): v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V$\}$ ?
Ich bin auch nicht sicher, was der Prüfer hier hören will.
Möglicherweise will er auf eine Beschreibung von v+Kern(A) für $v\in V$ hinaus:
Es gilt
$v+Kern(A)=\{v'\in V\;|\;A(v')=\underbrace{A(v)}_{=:w}\}=A^{-1}(\{w\})$.
Habt ihr zufällig letztgenannte Menge die "Faser von A über w" o.ä. genannt?
In diesem Sinne sind die Elemente von V/Kern(A) gerade die nichtleeren Fasern von A.
> 5) Zusammenhang zwischen lineare Abbildungen und
> Matrizen?
> Man hat zwei Vektorräume V und W mit Basen B1={v1,...,vn}
> von V und B2={w1,...,wm} von W.
Nehmen wir zusätzlich $v_i\not=v_{i'}$ für $i\not=i'$ und $w_j\not=w_{j'}$ an, um im Folgenden keine Probleme zu bekommen.
> Für A [mm]\in[/mm] Hom(V,W) hat man
> Avj= [mm]\summe_{i=m}^{n} a_{ij} w_{i}[/mm] für 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] n mit
> geeigneten [mm]a_{ij} \in[/mm] K.
Es muss [mm] $\sum_{i=\red{1}}^\red{m}$ [/mm] heißen.
> Die Koeffizienten [mm]a_{ij}[/mm] sind durch A eindeutig bestimmt.
> Der linearen Abbildug A ordnet man das folgende
> Koeffizientenschema zu [mm]B2A_{B1}= (a_{ij})[/mm] i=1,...,m
> j=1,...,n
> Mein Dozent möchte, dass man das nicht so "auswendig"
> aufsagt, sondern auch mit eigenen Worten erklärt. Nur
> fällt mir das hierbei sei schwer. Habt ihr da Ideen? Ich
> habe mir das schon an einem Beispiel verdeutlicht, aber
> kann es trotzdem nicht erklären.
> Würde der "Satz" auch ausreichen, um den Zusammenhang
> zwischen Basen und linearen Abbildungen zu erklären?
Du beschreibst die Details, wie man bei gegebenen Basen von endlich-dimensionsalen K-Vektorräumen V bzw. W jeder linearen Abbildung [mm] $V\to [/mm] W$ sinnvoll eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix (mit $n:=dim(V)$ und $m:=dim(W)$) mit Koeffizienten in K zuordnen kann.
Das Interessante ist nun: Jede [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix mit Koeffizienten in K entspricht so genau einer linearen Abbildung [mm] $V\to [/mm] W$.
Lineare Abbildungen [mm] $V\to [/mm] W$ und Matrizen [mm] $m\times [/mm] n$-Matrizen mit Koeffizienten in K entsprechen sich also "in bijektiver Weise".
(Allerdings hängt diese Bijektion von der Wahl von Basen von V und W ab.)
> 6) Was ist, wenn man andere Matrizen als B1 und B2 nimmt?
> Hier weiß ich überhaupt nicht worauf er hinaus will. Ich
> habe den Tipp bekommen, dass es was mit Basiswechsel zu tun
> hat.
Wenn man andere Matrizen nimmt, erhält man i.A. eine andere Bijektion zwischen den linearen Abbildungen [mm] $V\to [/mm] W$ und den [mm] $m\times [/mm] n$-Matrizen mit Koeffizienten in K.
Mithilfe von Basiswechsel-Matrizen lässt sich aus der Matrix einer linearen Abbildung [mm] $A\colon V\to [/mm] W$ bezüglich [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] die zugehörige Matrix bezüglich anderer Basen bestimmen.
Das ist das, was mir spontan zu den Fragen einfiel.
Wäre wirklich gut, wenn jemand anderes seine Einschätzung ergänzen könnte.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 17.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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