Ausgleichspolynom, Problem < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Berechnen sie das Ausgleichspolynom für die Werte:
(2,4), (0,2), (-1,11), (3-7) |
Hallo,
ich komm ab einer Stelle nicht mehr weiter.
Bisher hab ich das:
[mm] f(x)=a*x^{2}+b*x+c
[/mm]
[mm] Fehler=\summe_{i=1}^{4}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}
[/mm]
[mm] F(x):=a_{1}*f_{1}+a_{2}*f_{2}+a_{3}*f_{3}
[/mm]
[mm] f_1(x)=x^{2}
[/mm]
[mm] f_2(x)=x
[/mm]
[mm] f_3(x)=1
[/mm]
[mm] e(f)(a,b,c)=\summe_{i=1}^{4}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}=\summe_{i=1}^{4}(y_{i}-a*x^{2}+b*x+c))^{2}
[/mm]
Nun muss ich doch das partiell ableiten und 0 setzen. Leider weiß ich nicht wie ich mit der Summe umgehen soll.
Muss ich hier schon meine Werte einsetzen und dann ableiten oder wie mache ich das genau ?
DANKE
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Hallo Tobus,
> Berechnen sie das Ausgleichspolynom für die Werte:
> (2,4), (0,2), (-1,11), (3-7)
> Hallo,
> ich komm ab einer Stelle nicht mehr weiter.
> Bisher hab ich das:
>
> [mm]f(x)=a*x^{2}+b*x+c[/mm]
> [mm]Fehler=\summe_{i=1}^{4}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}[/mm]
>
> [mm]F(x):=a_{1}*f_{1}+a_{2}*f_{2}+a_{3}*f_{3}[/mm]
> [mm]f_1(x)=x^{2}[/mm]
> [mm]f_2(x)=x[/mm]
> [mm]f_3(x)=1[/mm]
>
> [mm]e(f)(a,b,c)=\summe_{i=1}^{4}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}=\summe_{i=1}^{4}(y_{i}-a*x^{2}+b*x+c))^{2}[/mm]
Das muss doch so lauten:
[mm]\summe_{i=1}^{4}(y_{i}-\left\red{(} \ a*x^{2}+b*x+c\right\red{)} \ ))^{2}[/mm]
>
> Nun muss ich doch das partiell ableiten und 0 setzen.
> Leider weiß ich nicht wie ich mit der Summe umgehen soll.
> Muss ich hier schon meine Werte einsetzen und dann
> ableiten oder wie mache ich das genau ?
Zuerst partiell ableiten.
Den Ausdruck in der Summe differenzierst Du partiell nach a,b,c.
Die partielle Ableitung dieses Ausdrucks summierst
Du dann über alle gegebenen Punktepaare.
Dann erhält Du ein Gleichungssystem.
>
> DANKE
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Tobus |
> Das muss doch so lauten:
> $ [mm] \summe_{i=1}^{4}(y_{i}-\left\red{(} \ a\cdot{}x^{2}+b\cdot{}x+c\right\red{)} [/mm] \ [mm] ))^{2} [/mm] $
Oh ja, da habe ich wohl eine Klammer vergessen
> Zuerst partiell ableiten.
> Den Ausdruck in der Summe differenzierst Du partiell nach a,b,c.
[mm] (y_{i}-a\cdot{}x^{2}+b\cdot{}x+c)
[/mm]
abgeleitet nach a: [mm] 2*(a*x_{i}^{2}+b*x_{i}-y-c)*x_{i}^{2}
[/mm]
abgeleitet nach b: [mm] 2*(b*x_{i}+a*x_{i}^{2}-y_{i}+c)*x_{i}
[/mm]
abgeleitet nach c: [mm] 2*(c+a*x_{i}^{2}+b*x_{i}-y_{i})
[/mm]
> Die partielle Ableitung dieses Ausdrucks summierst
> Du dann über alle gegebenen Punktepaare.
dann bekomme ich:
196*a-40*b+28*c-180
68*a+28*b+8*c-36
28*a+8*b+8*c-48
und als lgs:
[mm] \pmat{ 196 & -40 & 28 \\ 68 & 28 & 8 \\ 28 & 8 & 8 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{180 \\ 36 \\ 48}
[/mm]
Jetzt nur noch nach a,b,c auflösen und fertig. Haben sie es so gemeint ?
Vielen Dank !!
Edit:
Ich hab es mal komplett berechnet, das kann so nicht stimmen, da die Funktion durch keinen der gegebenen Werte geht ;(
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Hallo Tobus,
> > Das muss doch so lauten:
> > [mm]\summe_{i=1}^{4}(y_{i}-\left\red{(} \ a\cdot{}x^{2}+b\cdot{}x+c\right\red{)} \ ))^{2}[/mm]
>
> Oh ja, da habe ich wohl eine Klammer vergessen
>
> > Zuerst partiell ableiten.
> > Den Ausdruck in der Summe differenzierst Du partiell
> nach a,b,c.
>
> [mm](y_{i}-a\cdot{}x^{2}+b\cdot{}x+c)[/mm]
> abgeleitet nach a: [mm]2*(a*x_{i}^{2}+b*x_{i}-y-c)*x_{i}^{2}[/mm]
> abgeleitet nach b: [mm]2*(b*x_{i}+a*x_{i}^{2}-y_{i}+c)*x_{i}[/mm]
> abgeleitet nach c: [mm]2*(c+a*x_{i}^{2}+b*x_{i}-y_{i})[/mm]
>
> > Die partielle Ableitung dieses Ausdrucks summierst
> > Du dann über alle gegebenen Punktepaare.
>
> dann bekomme ich:
> 196*a-40*b+28*c-180
> 68*a+28*b+8*c-36
> 28*a+8*b+8*c-48
>
> und als lgs:
>
> [mm]\pmat{ 196 & -40 & 28 \\ 68 & 28 & 8 \\ 28 & 8 & 8 }[/mm] *
> [mm]\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] = [mm]\vektor{180 \\ 36 \\ 48}[/mm]
Die Koeffizientenmatrix
[mm]\pmat{ 196 & -40 & 28 \\ 68 & 28 & 8 \\ 28 & 8 & 8 }[/mm]
muß symmetrisch sein,
Daher stimmt einer der blau markierten Werte nicht:
[mm]\pmat{ 196 & \blue{-40} & 28 \\ \blue{68} & 28 & 8 \\ 28 & 8 & 8 }[/mm]
Die anderen Werte hab ich nicht nachgerechnet.
>
> Jetzt nur noch nach a,b,c auflösen und fertig. Haben sie es
> so gemeint ?
Genau so hab ich das gemeint.
>
> Vielen Dank !!
>
> Edit:
> Ich hab es mal komplett berechnet, das kann so nicht
> stimmen, da die Funktion durch keinen der gegebenen Werte
> geht ;(
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Tobus |
Vielen Dank, hab den Fehler ;)
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