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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es seien A [mm] \in R^{m,n} [/mm] und [mm] b\in R^m. [/mm] Ferner sei x* [mm] \in R^n [/mm] eine Lösung von [mm] (A^TA+\lambda I_n)x [/mm] = A^Tb [mm] (\lambda [/mm] >0) mit [mm] \|x*\|_2 [/mm] = [mm] \alpha.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] z=\frac{1}{\lambda} [/mm] (Ax*-b) der Bedingung [mm] \|A^Tz\|_2=\alpha [/mm] genügt. |
Guten Abend,
hab die aufgabe mal so angefangen:
x* = (A^TA + [mm] \lambda I_n)^{-1} [/mm] (A^Tb)
[mm] \|A^Tz\|_2 [/mm] = [mm] \|A^T 1/\lambda (Ax'-b)\|_2 [/mm]
= [mm] \| 1/\lambda A^T [/mm] A x* - [mm] 1/\lambda A^Tb\|_2
[/mm]
= ( [mm] 1/\lambda (A^TAx*)^T [/mm] - [mm] 1/\lambda(A^Tb)^T)(1/ \lambda A^TAx*-1/\lambdaA^Tb)=...
[/mm]
... irgendwie komm ich damit nicht weiter. ist es besser einen anderen ansatz zu nehmen?
viele grüße
riley
edit(mathemaduenn)
![[]](/images/popup.gif) gleiche Frage auf matheboard
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Hallo Riley,
> Es seien A [mm]\in R^{m,n}[/mm] und [mm]b\in R^m.[/mm] Ferner sei x* [mm]\in R^n[/mm]
> eine Lösung von [mm](A^TA+\lambda I_n)x[/mm] = A^Tb [mm](\lambda[/mm] >0) mit
> [mm]\|x*\|_2[/mm] = [mm]\alpha.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]z=\frac{1}{\lambda}[/mm] (Ax*-b) der Bedingung
> [mm]\|A^Tz\|_2=\alpha[/mm] genügt.
> Guten Abend,
> hab die aufgabe mal so angefangen:
>
> x* = (A^TA + [mm]\lambda I_n)^{-1}[/mm] (A^Tb)
Nicht so kompliziert. Es steht außerdem nirgends das (A^TA + [mm][mm] \lambda I_n)^{-1} [/mm] überhaupt existiert. Die Gleichung
[mm](A^TA+\lambda I_n)x = A^Tb [/mm] ist gegeben versuche diese mal umzuformen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
vielen dank für den tip *lichtaufgeh* ist es so in Ordnung ?
[mm] A^T [/mm] Ax + [mm] \lambda [/mm] I x - [mm] A^T [/mm] b = 0
[mm] A^T [/mm] (Ax- b) + [mm] \lambda [/mm] I x = 0
[mm] A^T \frac{1}{\lambda} [/mm] (Ax-b) = -x
[mm] A^T [/mm] z = -x
[mm] \| A^T z\|_2 [/mm] = [mm] \|-x\| [/mm] = |(-1)| [mm] \|x\| [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
dann spielt es außerdem auch gar keine rolle, dass es gerade die 2-norm ist?
Viele Grüße
Riley
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Hallo Riley,
> [mm]A^T[/mm] Ax + [mm]\lambda[/mm] I x - [mm]A^T[/mm] b = 0
> [mm]A^T[/mm] (Ax- b) + [mm]\lambda[/mm] I x = 0
> [mm]A^T \frac{1}{\lambda}[/mm] (Ax-b) = -x
> [mm]A^T[/mm] z = -x
> [mm]\| A^T z\|_2[/mm] = [mm]\|-x\|[/mm] = |(-1)| [mm]\|x\|[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
>
> dann spielt es außerdem auch gar keine rolle, dass es
> gerade die 2-norm ist?
Ja, gleiche Vektoren -> gleiche Norm.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
okay alles klar. danke für deine hilfe !
Gruß Riley
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