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| Aufgabe | Gegeben sind die Daten [m](x_{i}, y_{i})[/m] für [m]i=1,...,n[/m].
Als Schwerpunkt dieser Daten bezeichnet man den Punkt [m](\bar x, \bar y)[/m] mit
[m]\bar x = \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i} \,\ \bar y = \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} y_{i}[/m]
Weisen Sie nach, dass der Schwerpunkt der Daten auf der zu den Daten gehörenden Ausgleichsgeraden [m]y = ax + b[/m] liegt.
Bemerkung: Normalgleichungssystem für das genannte Ausgleichsproblem benutzen, nicht dessen explizite Lösung. |
Hallo zusammen,
normalerweise würde ich zuerst das Fehlergleichungssystem [m]A \lambda = y[/m] aufstellen mit [m]A \in \IR^{n \times m}[/m], [m]\lambda \in \IR^{m}, y \in \IR^{n}[/m]
wobei [m]n[/m] die Anzahl der Wertepaare und [m]m[/m] die Anzahl der Basisfunktionen (ausgehend vom Ansatz bzw. der Ansatzfunktion) angeben. Danach wird das (meist überbestimmte,
da [m]n > m[/m], Fehlergleichungssystem, wegen mehr Wertepaare als auszugleichende Parameter) durch die Multiplikation mit der transponierten Matrix [m]A^{T}[/m] auf beiden Seiten
in das Normalgleichungssystem überführt. Links steht dann die symmetrische Koeffzientenmatrix [m]A^{T} \cdot A[/m] und rechts [m]A^{T} \cdot y[/m]
Das Vorgehen ist mir also bekannt...
Nun ist diese Aufgabe m.E. etwas ungewöhnlich formuliert.
Kann mir jemand eventuell einen Tipp geben?
Vielen Dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Mi 04.02.2015 | | Autor: | huddel |
Hey gummibaum,
ich hoffe deine Frage ist noch aktuell und ich antworte nicht viel zu spät...
Ich weiß leider nicht genau, wie ihr die Ausgleichsgerade definiert habt, aber ich denke mal, dass es das Standardprinziep ist, welches auch oft in der Stochastik verwendet wird. Ich weiß leider auch nicht genau, was du mit der Matrix $ A $ ausrechnest. Ich würde jetzt einfach mit der Standarddefinition vorgehen und mit der Methode der kleinsten Quadrate vorgehen, also das Minimum der Funktion [mm] $\sum_{i=1}^n (y_i [/mm] - a - [mm] bx_i)$ [/mm] suchen und auf die Darstellung
$y(x) = [mm] \bar [/mm] y - [mm] \frac{\sum_i x_i y_i - n \bar x \bar y}{\sum_i x_i^2 - n {\bar x}^2}\bar [/mm] x + [mm] \frac{\sum_i x_i y_i - n \bar x \bar y}{\sum_i x_i^2 - n {\bar x}^2} [/mm] x$
womit deine Aufgabe dann recht schnell gelöst ist.
Ich hoffe mal, das hilft dir wenigstens ein bischen weiter :)
LG
huddel
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