Ausgleichsvorgänge < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Raiden28 |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
geht jetzt um Schaltung 1 |
Bei solchen Aufgaben ist mir soweit alles klar. Netzwerk analysieren, Differenzialgleichung aufstellen und lösen mit homogenen Teil und der Partikulärlösung. Allerdings bin ich mir unsicher beim Bestimmen der Konstanten bei der Lösung des homogenen Teils.
Für die obere Schaltung ergibt das erstmal:
[mm] u_{2}(t)=U_{k}*e^{\bruch{-t}{\tau}}+\bruch{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}*U_{1}
[/mm]
Jetzt dachte ich eigendlich immer, dass ich die Konstante [mm] U_{k} [/mm] bestimme, indem ich die Gleichung oben einfach für t=0 auch null setze. Allerdings komme ich so nicht auf die richtige Lösung. Wie gehts nun also weiter?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo raiden28,
Dein Eingangssignal ist doch ein Sprungsignal und dieses entsteht aus der Integration des Diracimpulses. Es langt also hier, die Impulsantwort zu integrieren.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Raiden28 |
Davon hör ich leider zum ersten mal. Vielleicht behandeln wir das später noch.
Mir wäre dennoch erstmal wichtig zu wissen, wie ich bei der Methode über die Differenzialgleichung weiter vorgehen muss. Vielleicht kannst du mir da ja auch helfen ;)
Trotzdem Danke für die schnelle Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 So 27.07.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Raiden28,
der Weg ist prinzipiell richtig, zur genauen Berechnung in diesem Fall kann ich eben nicht so viel sagen, da in der Lösng eine etwas ominöse Spannung Uk vorkommt (sehr wahrscheinlich die Kondensatorspannung) , die zumindest im Endergebnis sicher nicht auftauchen sollte. Was passiert nun beim Einschalten der Sprungspannung? Der Kondensator schliesst den parallel dazuliegenden Widerstand kurz und demzufolge taucht die volle Eingangsspannung an R2 auf. Im Laufe der Zeit verringert sich diese Spannung auf den durch den Widerstandsteiler bestimmten Spannungswert.
Für die DGL gehst Du doch wohl vom oberen Stromknoten an R2 aus und bekommst dort
$$ [mm] i_K [/mm] + [mm] i_{R_1} [/mm] = [mm] i_{R_2} [/mm] $$ oder mit Hilfe von Spannungen ausgedrückt
$$ C [mm] \bruch{du_k}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{u_k}{R_1} [/mm] = [mm] \bruch{u_2}{R_2} [/mm] $$
Danach schmeisst man die Kondensatorspannung durch den Zusammenhang
$$ [mm] u_k(t) [/mm] = [mm] u_1(t) [/mm] - [mm] u_2(t) [/mm] $$ raus und löst nach u2(t) auf.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 27.07.2008 | | Autor: | Raiden28 |
Richtig, soweit hab ich das auch schon getan. Damit kommt man dann zu der allgemeinen DIfferenzialgleichung:
[mm] u_{2}(t)*(1+\bruch{R_{2}}{R_{1}})+R_{2}*C*\bruch{du_{2}}{dt}=\bruch{R_{2}}{R_{1}}*u_{1}+R_{2}*C*\bruch{du_{1}}{dt}
[/mm]
Aufgrund der linearen Eingangsspannung wird [mm] R_{2}*C*\bruch{du_{1}}{dt}=0
[/mm]
Jetzt hab ich also die Differenzialgleichung. Diese Löse ich ja mit Hilfe der Homogenen Lösung und der Partikulärlösung. Die homogene Lösung ergibt dann aus
[mm] u_{2}(t)*(1+\bruch{R_{2}}{R_{1}})+R_{2}*C*\bruch{du_{2}}{dt}=0
[/mm]
[mm] U_{2(homo)}=e^{\bruch{-t}{\tau}}*U_{k}
[/mm]
Dabei steht [mm] U_{k}
[/mm]
für eine Konstante Größe die wir am Ende immer anhand der Anfangsbedingung gelöst haben. Diese war immer, dass die Spannung am Kondensator kurz vor dem Einschalten gleich der Spannung am Kondensator kurz nach dem Einschalten ist. Wenn man nun noch die Partikulärlösung ermittelt, ergibt das die Funktion, die ich im Eingangspost geschrieben habe. Allerdings muss ich nun noch die Konstante [mm] U_{k} [/mm] bestimmen. Und hier komme ich nicht recht auf die Lösung.
Falls es hilft, das endergebnis ist:
[mm] u_{2}(t)=U_{1}*(\bruch{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}+\bruch{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}*e^{\bruch{-t}{\tau}})
[/mm]
[mm] U_{k} [/mm] muss also [mm] U_{1}*\bruch{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} [/mm] sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Rene |
Du hast einen entscheidenen Fehler gemacht. Die Ableitung des Eingangssignals kannst du nicht ganz vernachlässigen. Du hast ja am eingang einen Sprung. Die Ableitung des Sprungs entspricht einem Dirac impuls, der nur an der Stelle t=0 unendlich ist. Da dieser nur an der Stelle t=0 definiert ist, ändert dieser dein Ergebnis auch nur zur Zeit t=0 (zusätzlicher Energieeintrag in das System). Kurz gesagt deine Anfangsbedingung ist nicht Null. Bisher bist du davon ausgegangen, das [mm]u_2(-0)=u_2(+0)[/mm] (spannung kurz vor 0 und spannung kurz nach 0) gleich sind. Dies trifft hier Aufgrund des differenzierenden Anteils nicht zu. Du musst also deine Anfangsbedingung [mm]u_2(+0)[/mm] finden mit der du dann die Konstante [mm]U_k[/mm] bestimmen kannst.
Dies kannst du zum Beispiel durch einfache Integration der DGL machen. Du integrierst von 0 bis [mm]\varepsilon[/mm] und lässt anschließend [mm]\varepsilon[/mm] gegen 0 gehen.
Auf dein Beispiel angewandt heißt das
[mm]
R_2C\int_{0}^{\varepsilon}{\frac{du_2(t)}{dt}dt}+\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\int_{0}^{\varepsilon}{u_2(t)dt}=\frac{R_2}{R_1}\int_{0}^{\varepsilon}{u_1(t)dt} +R_2C\int_{0}^{\varepsilon}{\frac{du_1(t)}{dt}dt}
[/mm]
[mm]
=> R_2C(u_2(\varepsilon)-u_2(0))+\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\int_{0}^{\varepsilon}{u_2(t)dt}=\frac{R_2}{R_1}\int_{0}^{\varepsilon}{u_1(t)dt} +R_2C(u_1(\varepsilon)-u_1(0))
[/mm]
Jetzt von rechts [mm]\varepsilon\rightarrow 0[/mm] gehen lassen. Es gilt dann [mm]u_2(\varepsilon)=u_2(+0), u_2(0)=u_2(-0)=0, u_1(-0)=0[/mm]. Kurz nach 0 verschwindet der Diracimpuls, so dass [mm]u_1(+0)=U_1[/mm] nur noch der Sprunghöhe entspricht. Die verbliebenden Integrale sind [mm]\int_{0}^{0}{x(t)dt}=0[/mm]. Du erhälst dann
[mm] R_2Cu_2(+0)= +R_2CU_1[/mm]
Deine Anfangsbedingung lautet somit [mm]u_2(t=0)=u_2(+0)=U_1[/mm].
Einsetzen in deine Lösung liefert
[mm]U_1 = U_k +\frac{R_2}{R_1+R_2}U_1[/mm]
[mm]U_k=U_1\left(1-\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)[/mm]
[mm]U_k=\frac{R_1}{R_1+R_2}U_1[/mm]
Die gesamte Lösung wäre schöner wenn du die DGL vorher normieren würdest, weil du dann sofort die Zeitkonstanten (System und Differenzierer) sowie die Verstärkung des Systems ablesen könntest und dann substituierst, was die ganze Sache dann übersichtlicher macht.
MFG
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