Ausklammern / Summenberechnung < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnung der Summe und diese falls möglich mit Verwendung von Klammern so einfach wie möglich darstellen
[mm] \bruch{1}{(a+b)²(a-b)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(a²-b²)(a-b)}
[/mm]
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Ich würde hier wie folgt vorgehen
1. gleichen Nenner suchen
1.1 Meine Idee hierzu wäre, da im ersten Bruch ja die 1. bin. Formel zu sehen ist und ich somit 2x (a+b) habe und 1x (a-b) und im zweiten Bruch die 3. bin. Formel und somit (a+b)(a-b)(a-b) gegeben ist, den ersten Bruch mit (a-b) zu multiplizieren und den zweiten mit (a+b). Somit hätte ich einen gemeinsamen Nenner
2. Frage: Hier liegt augenscheinlich der Fehler, da im Zähler dann 0 rauskommen würde und dieses ja nicht vorkommen darf. Wie muss ich also richtigerweise vorgehen?
Ergebnis soll sein: [mm] \bruch{2a}{a^4-2a²b²+b^4}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Di 01.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
die Idee mit dem gleichen Nenner ist schon mal nicht schlecht.
Versuche es doch einmal so:
[mm] \bruch{1}{\blue{(a+b)²(a-b)}}+\bruch{1}{\red{(a²-b²)(a-b)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\red{(a²-b²)(a-b)}}{\blue{(a+b)²(a-b)}*\red{(a²-b²)(a-b)}}+\bruch{\blue{(a+b)²(a-b)}}{\red{(a²-b²)(a-b)}*\blue{(a+b)²(a-b)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\red{(a²-b²)(a-b)}+\blue{(a+b)²(a-b)}}{\blue{(a+b)²(a-b)}*\red{(a²-b²)(a-b)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\red{(a²-b²)}+\blue{(a+b)²}}{\blue{(a+b)²}*\red{(a²-b²)(a-b)}}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
so müsstest du ans Ziel gelangen.
MfG barsch
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Also ich hab da noch ein Problem und zwar bei dem 3. Schritt :
$ [mm] =\bruch{\red{(a²-b²)}+\blue{(a+b)²}}{\blue{(a+b)²}\cdot{}\red{(a²-b²)(a-b)}} [/mm] $
Was ist mit den (a-b) im Zähler (zu Sehen bei Schritt zwei) passiert? Denn es wurde ja - wenn ich das richtig sehe - nur eines weggekürzt (da im Nenner noch immer 1x (a-b) übrig ist. Irgendwie hänge ich da wohl komplett.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 01.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
okay, der dritte Schritt:
[mm] \ldots=\bruch{\red{(a²-b²)}(a-b)+\blue{(a+b)²}(a-b)}{\blue{(a+b)²}(a-b)\cdot{}\red{(a²-b²)(a-b)}} [/mm]
[mm] =\bruch{(a-b)}{(a-b)}*\bruch{\red{(a²-b²)}+\blue{(a+b)²}}{\blue{(a+b)²}\cdot{}\red{(a²-b²)(a-b)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\red{(a²-b²)}+\blue{(a+b)²}}{\blue{(a+b)²}\cdot{}\red{(a²-b²)(a-b)}}
[/mm]
Du kannst [mm] (a-b)_{} [/mm] also kürzen.
MfG barsch
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Ok das mit dem Rauskürzen ist mir jetzt klar geworden, aber ich bin jetzt etwas verwirrt (hänge seit 5 Std. über meinen Aufgabenzetteln ;)) denn ich frage mich, wie ich dann weiter im Zähler letzten Endes auf 2a kommen soll. Und ich weiß nicht mehr recht, was ich weiterhin kürzen darf - bin da jetzt völlig neben der Spurs, sry.
MfG Shub
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Di 01.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
Edit: Oder du siehst dir in der Tat einmal die Antwort von schachuzipus an - Die ist wesentlich kürzer und vielleicht (?) auch verständlicher.
[mm] =\bruch{\red{(a²-b²)}+\blue{(a+b)²}}{\blue{(a+b)²}\cdot{}\red{(a²-b²)(a-b)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\red{a²-b²}+\blue{a^2+2ab+b^2}}{\blue{(a+b)²}\cdot{}\red{(a²-b²)(a-b)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2a^2+2ab}{(a+b)²\cdot{}(a²-b²)(a-b)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2a*(a+b)}{(a+b)²\cdot{}(a²-b²)(a-b)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2a}{(a+b)\cdot{}(a²-b²)(a-b)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2a}{(a^2-b^2)*(a^2-b^2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2a}{(a^2-b^2)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{2a}{a^4-2a^2b^2+b^4}
[/mm]
Und wunderbar  : Das sollte ja herauskommen.
> Ergebnis soll sein: $ [mm] \bruch{2a}{a^4-2a²b²+b^4} [/mm] $
MfG barsch
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Hallo ShubNiggurath,
du kannst dir eine Haufen Rechnerei ersparen, wenn du dir überlegst, dass ein "kleiner" Hauptnenner es auch tut:
[mm] $\frac{1}{(a+b)^2(a-b)}+\frac{1}{(a^2-b^2)(a-b)}=\frac{1}{(a+b)(a+b)(a-b)}+\frac{1}{\underbrace{(a+b)(a-b)}_{\text{3. binom. Formel}}(a-b)}=\frac{\red{(a-b)}}{(a+b)(a+b)(a-b)\red{(a-b)}}+\frac{\red{(a+b)}}{(a+b)(a-b)(a-b)\red{(a+b)}}=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)^2(a-b)^2}=....$
[/mm]
Damit solltest du etwas schneller und mit weniger Rechnenaufwand auf die Lösung kommen 
LG
schachuzipus
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Ach ich bin auch eine Tröte! jetzt blick ich das erst - mein Ausgangsfehler war, dass ich dachte, dass sich (a+b)+(a-b) auflöst, dem ist aber ja gar nicht so ich Esel. Herrje - ich glaub es war einfach zuviel Rechnerei heute. Vielen Dank euch beiden auf jeden Fall!
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Pardon verklickt! sollte keine Frage sein - wie gesagt - Alle Unklarheiten beseitigt!
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