Auslenkung Körper sinusfunk. < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 So 04.10.2009 | | Autor: | g0f |
| Aufgabe | Ein Körper schwingt an einem Faden der Länge L (in m) auf einem Kreisbogen. Bei kleinen Auslenkungen wird der Weg längs des Kreisbogens in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben durch die Funktion s mit
s(t)= [mm] 0.25*sin(\bruch{\pi}{\wurzel{L}}*t-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
a) Bestimme die maximale Auslenkung.
b) An welchen Stellen ist die Geschwindigkeit des Pendels am größten? Wo ist die Geschwindigkeit 0?
c) An welchen Stellen erfährt der Körper die größte Beschleunigung?
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Also bei a) versteh ich nicht wie man das berechnen kann obwohl L nicht gegeben ist.. Ich hab erstmal die Ableitung gebildet
s'(t)=[mm] 0.25*cos(\bruch{\pi}{\wurzel{L}}*t-\bruch{\pi}{2})* \bruch{\pi}{\wurzel{L}[/mm]
also eig müsste man die ja dann gleich null setzen.
naja iwie weiß ich aber nicht weiter wär nett wenn mir einer helfen könnte^^
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> Ein Körper schwingt an einem Faden der Länge L (in m) auf
> einem Kreisbogen. Bei kleinen Auslenkungen wird der Weg
> längs des Kreisbogens in Abhängigkeit von der Zeit
> beschrieben durch die Funktion s mit
>
> s(t)= [mm]0.25*sin(\bruch{\pi}{\wurzel{L}}*t-\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> a) Bestimme die maximale Auslenkung.
> b) An welchen Stellen ist die Geschwindigkeit des Pendels
> am größten? Wo ist die Geschwindigkeit 0?
> c) An welchen Stellen erfährt der Körper die größte
> Beschleunigung?
>
> Also bei a) versteh ich nicht wie man das berechnen kann
> obwohl L nicht gegeben ist.. Ich hab erstmal die Ableitung
> gebildet
> s'(t)=[mm] 0.25*cos(\bruch{\pi}{\wurzel{L}}*t-\bruch{\pi}{2})* \bruch{\pi}{\wurzel{L}[/mm]
> also eig müsste man die ja dann gleich null setzen.
> naja iwie weiß ich aber nicht weiter wär nett wenn mir
> einer helfen könnte^^
Hallo g0f,
hier handelt es sich um eine ziemlich simple Sinus-
funktion.
In der Klammer steht eine lineare Funktion der Zeit t.
Die Sinusfunktion kann genau die Werte im Intervall
von -1 bis +1 annehmen. Mit dem Faktor 0.25 vor
dem Sinus ergibt dies Werte von -0.25 bis 0.25. Die
maximale Auslenkung (von der Position s=0 aus ge-
messen) ist also gleich 0.25.
Wenn du willst, kannst du dies auch als Ergebnis einer
Extremwertaufgabe herleiten. Die Ableitung wird dann
null, wenn $\ cos(.....)=0$ ist, also der Klammerinhalt gleich
[mm] $\pi/2+k*\pi\ [/mm] \ [mm] (k\in\IZ)$ [/mm] . An allen entsprechenden Stellen,
wo also $\ cos(.....)=0$, ist natürlich $\ sin(.....)=+1$ oder [mm] =\,-1 [/mm] .
Bei b) und c) kommen analoge Überlegungen zum Zug.
s'(t)=v(t) ist die Geschwindigkeit, s''(t)=a(t) die
Beschleunigung.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 05.10.2009 | | Autor: | g0f |
Das ist ja eig ganz simpel :D Dankeschön für die Antwort nur ich versteh nicht genau warum denn s'(t) = v(t) ist da ja eig v(t)= [mm] \bruch{s(t)}{t} [/mm] ist?
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> Das ist ja eig ganz simpel :D Dankeschön für die Antwort
> nur ich versteh nicht genau warum denn s'(t) = v(t) ist da
> ja eig v(t)= [mm]\bruch{s(t)}{t}[/mm] ist?
Die Formel [mm] v=\frac{s(t)}{t} [/mm] gilt nur für Bewegungen mit
konstanter Geschwindigkeit. Für Bewegungen mit
variabler Geschwindigkeit denkt man sich die Zeit-
achse in viele kleine Zeitintervalle der Länge [mm] \Delta{t}
[/mm]
eingeteilt und berechnet dann in jedem einzelnen
dieser Zeitintervalle eine Geschwindigkeit
[mm] $\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}$
[/mm]
Lässt man dann [mm] \Delta{t} [/mm] gegen Null streben, so wird
aus diesen Differenzenquotienten als Grenzwert
die Ableitung s'(t), welche der momentanen
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t entspricht.
Ein Beispiel, das du wahrscheinlich kennst:
Für den freien Fall eines Körpers aus der
Ruhelage s=0 bei t=0 gilt die Formel für den
zurückgelegten Weg:
$\ s(t)\ =\ [mm] \frac{1}{2}\,g\,t^2$
[/mm]
Bildet man hier die Ableitung nach t, so hat man
$\ s'(t)\ =\ [mm] \frac{1}{2}\,g*2*t\ [/mm] =\ g*t$
Falls ihr den freien Fall behandelt habt, ist dir
auch die dabei geltende Formel $v(t)=g*t$ sicher
bekannt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mo 05.10.2009 | | Autor: | g0f |
achso Danke hab das jetzt verstanden .. aber wir habn das mit dem freien Fall noch nicht gemacht also denk ich auch nicht das das in der klausur vorkommt. Danke aber für die Erklärung ;)
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