Ausräumen von Matritzen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo !
Ich stehe vor einem Problem, daß ich alleine nicht lösen kann.
Und zwar geht es um die Bestimmung von einer Inversen zu einer Matrix.
Hierzu soll ich mir (laut Dozent an der Uni) 2 Fragen stellen.
1. Besitzt A eine inverse ?
2. Wenn ja, wie berechne ich diese?
Nun habe ich gelernt, daß es 3 Regeln gibt dieses Problem anzugehen.
1. Zeilen dürfen vertauscht werden (für mich die einfachste Regel die ich auch verstanden habe!)
2. Zeilen dürfen mit Zahlen ungleich 0 multipliziert werden (das hab ich auch verstanden, ist ja das selbe wie in einer Gleichung mit x wie in der Schule)
3. Es darf ein vielfaches einer Zeile zu einer anderen Addiert werden ("Killerschritt")
Und genau diesen "Killerschritt" kapiere ich nicht ! Und es scheint mir so, als sei es der wichtigste Vorgang überhaupt in dieser Problematik.
Nun meine Frage : Kann mir einer von euch diesen Killerschritt so einfach wie möglich (evtl mit einem Beispiel) darstellen oder erklären ? Ich komme mit der Logik einfach nicht zurecht die hinter dieser Rechenoperation stehen soll.
Oder gibt es noch andere (mögl. einfachere Wege) um auf unsere "Ausgeräumte" zu kommen?
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar !!!
Gruß
ein Knallkopp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Di 13.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
wirf doch mal einen Blick in diese Diskussion weiter unten, da geht es letztlich um das gleiche Problem. Vielleicht hilft's schon.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Hoffentlich hat das mit dem Link geklappt!
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Hallo nochmal !
Danke erstmal für eure schnelle Hilfe !
Nur jetzt kommt das aber .... Denn das Theoretische ist alles soweit klar. Doch wie funktioniert genau dieser fürchterliche "Killerschritt" ?? Oder steh ich in dem berühmten Wald und seh die Bäume nicht?
Ich glaube, mein Problem ist eher im Praktischen begraben. Denn : wie genau funktioniert die Rechenoperation dieser "Theoretischen Anweisung" (es darf ein vielfaches einer Zeile zu einer anderen addiert werden) Irgendwie passt mir das alles nicht zu egal welchem Beispiel. Ich verstehe diese Regel einfach nicht, theoretisch nicht wirklich und praktisch schon gar nicht.
Ich wäre euch wirklich dankbar für eine Erklärung für vollidioten  Ansonsten bin ich mit Mathe eigentlich sehr fit, nur das Ding hier krieg ich nicht begriffen.
Danke !!
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Hi,
also um die Inverse zu finden, mußt du erst mal wissen ob sie existiert.
Das ist am einfachsten wenn du die Determinante berechnest, wenn diese nicht 0 ist, dann existiert eine Inverse.
Um die Inverse dann explizit zu berechnen gibt es ein ganz einfaches Verfahren
Du nimmst deine Matrix
[mm] \pmat{a_{1,1} ....a_{1,n} \\.....\\a_{m,1}....a_{m,n}} [/mm] auf der linken Seite und schreibst die zugehörige Einheitsmatrix auf die rechte Seite
Am besten noch einen Strich dazwischen um das ganze zu unterscheiden.
Jetzt bringst du mit elementaren Zeilenumformungen und Spaltenumformungen deine Matrix auf die Gestalt der Einheitsmatrix und alle Umformung die du mit deiner Matrix machst mußt du auch mit der Einheitsmatrix auf der rechten Seite machen. Die Matrix auf der rechten Seite ist dann deine Inverse.
Hier ist mal ein Beispiel dafür: Inverse
Viel Erfolg
Britta
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Di 13.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Britta,
es ist IMHO unnötig vorher die Determinante zu berechnen, denn die Matrix ist auch dann nicht invertierbar, wenn sie nicht vollen Rang hat und dies bemerkt man dann während der Umformung zur Einheitsmatrix.
Wenn man ein wenig Übung hat (und spätestens ab 4x4 Matrizen) spart man dadurch auch Zeit, wenn die Matrix nicht invertierbar ist.
(Wenn sie es ist, spart man sowieso Zeit...)
Man erfährt also alles gleich on-the-fly ...
Aber jeder muss es natürlich machen, wie er/sie es gerne hätte.
viele Grüße
DaMenge
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Hallo knallkopp und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Und zwar geht es um die Bestimmung von einer Inversen zu
> einer Matrix.
> Hierzu soll ich mir (laut Dozent an der Uni) 2 Fragen
> stellen.
> 1. Besitzt A eine inverse ?
> 2. Wenn ja, wie berechne ich diese?
>
> Nun habe ich gelernt, daß es 3 Regeln gibt dieses Problem
> anzugehen.
>
> 1. Zeilen dürfen vertauscht werden (für mich die einfachste
> Regel die ich auch verstanden habe!)
> 2. Zeilen dürfen mit Zahlen ungleich 0 multipliziert
> werden (das hab ich auch verstanden, ist ja das selbe wie
> in einer Gleichung mit x wie in der Schule)
> 3. Es darf ein vielfaches einer Zeile zu einer anderen
> Addiert werden ("Killerschritt")
>
> Und genau diesen "Killerschritt" kapiere ich nicht ! Und es
> scheint mir so, als sei es der wichtigste Vorgang überhaupt
> in dieser Problematik.
Ich probiere es mal mit diesem "Killerschritt" - eigentlich ist das gar nicht so schwierig. Aber ich versuche mal, es wirklich in kleinsten Schritten zu erklären, mal sehen, ob mir das gelingt:
Nehmen wir als Beispiel einfach folgende Matrix:
[mm] \pmat{1&2&3\\1&1&4\\2&1&0}
[/mm]
Nun kennst du sicher der Gauß-Algorithmus - falls nicht, ist auch nicht schlimm. Was wir aber jetzt einfach mal machen wollen ist; den ersten Eintrag in der zweiten Zeile =0 bekommen. Wie machen war das? Wir rechnen einfach "2. Zeile minus 1. Zeile". Dann steht dort:
[mm] \pmat{1&2&3\\1-1&1-2&4-3\\2&1&0} [/mm] = [mm] \pmat{1&2&3\\0&-1&1\\2&1&0}
[/mm]
Wir haben also die 1. Zeile von der 2. subtrahiert, man kann auch sagen, wir haben das "Einsfache" der ersten Zeile von der Zweiten subtrahiert (also das "Vielfache" ist dann das "Einsfache").
Was machen wir aber, wenn wir den ersten Eintrag in der dritten Zeile ebenfalls =0 haben wollen? Wir könnten z. B. das Einsfache der ersten Zeile subtrahieren, dann wäre der erste Eintrag der dritten Zeile =1, und wenn wir dann nochmal das Einsfache der ersten Zeile subtrahieren, ist dieser Eintrag =0. Aber wie nennt sich das, wenn wir zweimal das Einsfache subtrahieren? Dann haben wir das Zweifache subtrahiert. Also ist hier dann das "Vielfache" das "Zweifache". Wir können also das Zweifache der ersten Zeile von der dritten subtrahieren. Ich schreibe es nochmal explizit auf:
[mm] \pmat{1&2&3\\1&1&4\\2-(2*1)&1-(2*2)&0-(2*3)} [/mm] = [mm] \pmat{1&2&3\\1&1&4\\0&-3&-6}
[/mm]
Ist das soweit klar?
Vielleicht kommt dir das jetzt zum allgemeinen Berechnen etwas kompliziert vor. Du kannst es aber anfangs auch noch anders schreiben:
Multiplizieren wir doch einfach mal die erste Zeile mit 2, dann haben wir:
[mm] \pmat{2*1&2*2&2*3\\1&1&4\\2&1&0} [/mm] = [mm] \pmat{2&4&6\\1&1&4\\2&1&0}
[/mm]
und nun können wir ganz einfach die erste Zeile von der dritten abziehen:
[mm] \pmat{2&4&6\\1&1&4\\2-2&1-4&0-6} [/mm] = [mm] \pmat{1&2&3\\1&1&4\\0&-3&-6}
[/mm]
Du siehst, hier steht in der dritten Zeile das Gleiche wie eben, als wir direkt die dritte Zeile minus zweimal die erste gerechnet haben.
Ist der Killerschritt jetzt klar geworden? Ansonsten frag ruhig nach - das ist schon wichtig.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Di 13.09.2005 | | Autor: | knallkopp |
Bastiane ,
das ist genau des Rätsels Lösung !!! Genau den Denkanstoß hab ich gebraucht !!!!
Ich kann also entweder (für die Experten) gleichzeitig 2 Schritte in eienm machen oder (für mich) alles einzeln bearbeiten, subtahieren, multiplizieren etc bis ich bei der Einheitsmatrix bin.
Großartig !! Wenn ich das jetzt bei meiner Übungsaufgabe auch so hinkriege ist alles superklasse !! Ansonsten frag ich einfach nochmal nach
VIELEN DANk !!!
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
