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Aussage zeigen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Do 10.11.2011
Autor: Reducer

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR\to\IR [/mm] eine Funktion mit der Eigenschaft:
f(x+y)=f(x)+f(y) [mm] \forall x,y\in\IR [/mm]

Zeige die folgende Aussage:
f(q*x) = q*f(x) für alle [mm] q\in\IQ,x\in\IR [/mm]

Hallo

Stehe bei der Aufgabe an, bzw. verstehe die Aufgabenstellung nicht.

Soll ich bei f(x+y) nun für y (q*x) einsetzten? Ist das der richtige Ansatz?

Danke für Hilfe

Grüsse Reducer



        
Bezug
Aussage zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Do 10.11.2011
Autor: Diophant

Hallo,

nun ja, wenn du die Homomorphie der Summe benutzen möchtest, dann musst du eben wieder eine Summe einsetzen.

Nimm etwa

[mm]q*x=a*x+b*x[/mm]

und setze mal die rechte Seite ein. Vereinfache das Resultat dann geeignet.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Aussage zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 So 13.11.2011
Autor: Reducer

Hallo Diophant

> Hallo,
>  
> nun ja, wenn du die Homomorphie

was für ein wunderbares Wort;)

> der Summe benutzen
> möchtest, dann musst du eben wieder eine Summe einsetzen.

Ich habe keine Ahnung was ich wo einsetzen soll!

>  
> Nimm etwa
>  
> [mm]q*x=a*x+b*x[/mm]
>  
> und setze mal die rechte Seite ein. Vereinfache das
> Resultat dann geeignet.
>  
> Gruß, Diophant

Also wenn ich dich richtig verstehe

f(q*x)=f(a*x)+f(b*x)
qf(x)=af(x)+bf(x)
dann mit f(x) kürzen und mit [mm] \IQ [/mm] resp. [mm] \IR [/mm] testen
q=a+b
0,25=0,12+0,13

..irgendwie planlos

Gruss Reducer


Bezug
        
Bezug
Aussage zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 So 13.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,
> Sei f: [mm]\IR\to\IR[/mm] eine Funktion mit der Eigenschaft:
>  f(x+y)=f(x)+f(y) [mm]\forall x,y\in\IR[/mm]
>  
> Zeige die folgende Aussage:
>  f(q*x) = q*f(x) für alle [mm]q\in\IQ,x\in\IR[/mm]

Sei [mm] a/b\in\IQ [/mm] mit [mm] a\in\IZ, 0\neq b\in\IN. [/mm]
Aus der Funktionalgleichung folgt (per Induktion)

(*)       [mm] f\left(\frac{a}{b}x\right)=f\left(\underbrace{\frac{x}{b}+\ldots+\frac{x}{b}}_{a}\right)=a*f\left(\frac{x}{b}\right). [/mm]

Ebenso folgt

(**)      [mm] f\left(x\right)=f\left(\underbrace{\frac{x}{b}+\ldots+\frac{x}{b}}_{b}\right)=bf\left(\frac{x}{b}\right) [/mm]

Aus (*) und (**) folgt die Behauptung.

LG

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