Aussagen über Folgen und Reihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mo 21.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll ein paar Aussagen auf ihre Richtigkei prüfen.Wenn sie richtig sind soll ich kurz erklären warum und wenn nicht ein Gegenbeispiel liefern.
Sind alle Folgenglieder ab dem 170000 Folgeglied gleich 17,so konvergiert die Folge .(ich hätte gesagt nein ,weil ja alle Folgenglieder sich einen Grenzwert annähern müssen)
Sind alle Summanden einer Reihe ab dem 170000 Summanden gleich 17,so konvergiert die Reihe (Ich meine ja ,weil die Konvergenz einer Reihe ändert sich ja nicht ,wenn man endlich viele Glieder umgeordnet,weggelassen oder verändert werden.)
Ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe größer als 1,so liegen zumindest zwei ganze Zahlen im Konvergenzbereich .( Hier habe ich leider keine Vorahnung.)
Ist eine Funktion f(x) auf [0,1] differenzierbar,so nimmt f(x) alle Werte zwischen 0 und 1 zumindest einmal an. (Ich schätze es stimmt nicht ,wenn f(0) und f(1) stehen würde ,wäre es ja der Zwischenwertsatz.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Ich soll ein paar Aussagen auf ihre Richtigkei prüfen.Wenn
> sie richtig sind soll ich kurz erklären warum und wenn
> nicht ein Gegenbeispiel liefern.
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> Sind alle Folgenglieder ab dem 170000 Folgeglied gleich
> 17,so konvergiert die Folge .(ich hätte gesagt nein ,weil
> ja alle Folgenglieder sich einen Grenzwert annähern
> müssen)
Da liegst Du falsch ! Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit [mm] a_n=17 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 170000 . Nun geben wir ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vor.
Dann gilt: [mm] |a_n-17|=0< \varepsilon [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 170000 .
[mm] (a_n) [/mm] konv. also gegen 17.
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> Sind alle Summanden einer Reihe ab dem 170000 Summanden
> gleich 17,so konvergiert die Reihe (Ich meine ja ,weil die
> Konvergenz einer Reihe ändert sich ja nicht ,wenn man
> endlich viele Glieder umgeordnet,weggelassen oder
> verändert werden.)
Auch hier liegst Du falsch. Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit [mm] a_n=17 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 170000 . Würde [mm] \sum a_n [/mm] konvergieren, so wäre [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge. Oben haben wir aber festgestellt, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen 17 strebt.
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> Ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe größer als
> 1,so liegen zumindest zwei ganze Zahlen im
> Konvergenzbereich .( Hier habe ich leider keine
> Vorahnung.)
Sei R dieser Konvergenzradius. Also R>1. Liegen 1 und -1 im Konvergenzbereich ?
>
> Ist eine Funktion f(x) auf [0,1] differenzierbar,so nimmt
> f(x) alle Werte zwischen 0 und 1 zumindest einmal an. (Ich
> schätze es stimmt nicht ,wenn f(0) und f(1) stehen würde
> ,wäre es ja der Zwischenwertsatz.)
Betrachte doch einfach die Funktion f(x)=0 (x [mm] \in [/mm] [0,1]). Nimm f den Wert 1/2 an ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mo 21.11.2011 | | Autor: | racy90 |
> Da liegst Du falsch ! Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge mit [mm]a_n=17[/mm] für
> n [mm]\ge[/mm] 170000 . Nun geben wir ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 vor.
>
> Dann gilt: [mm]|a_n-17|=0< \varepsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 170000 .
>
> [mm](a_n)[/mm] konv. also gegen 17.
>
Kann man das auch ohne Epsilon erklären,das ist mir nicht ganz geheuer ?
> >
> > Sind alle Summanden einer Reihe ab dem 170000 Summanden
> > gleich 17,so konvergiert die Reihe (Ich meine ja ,weil die
> > Konvergenz einer Reihe ändert sich ja nicht ,wenn man
> > endlich viele Glieder umgeordnet,weggelassen oder
> > verändert werden.)
>
.
> > Ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe größer als
> > 1,so liegen zumindest zwei ganze Zahlen im
> > Konvergenzbereich .( Hier habe ich leider keine
> > Vorahnung.)
>
> Sei R dieser Konvergenzradius. Also R>1. Liegen 1 und -1
> im Konvergenzbereich ?
>
> ich denke schon das es stimmt.Bei mir im Skript steht leider nur : [mm] r=\infty-->die [/mm] Potenzreihe konvergiert für alle x [mm] \in [/mm] R und es gibt eine Zahl r>0,so dass die Potenzreihe für alle [mm] x\in [/mm] R mit |x-a|<r konvergiert.
> >
> > Ist eine Funktion f(x) auf [0,1] differenzierbar,so nimmt
> > f(x) alle Werte zwischen 0 und 1 zumindest einmal an. (Ich
> > schätze es stimmt nicht ,wenn f(0) und f(1) stehen würde
> > ,wäre es ja der Zwischenwertsatz.)
>
> Betrachte doch einfach die Funktion f(x)=0 (x [mm]\in[/mm] f[0,1]).
> Nimm f den Wert 1/2 an ?
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Hallo,
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> > Da liegst Du falsch ! Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge mit [mm]a_n=17[/mm] für
> > n [mm]\ge[/mm] 170000 . Nun geben wir ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 vor.
> >
> > Dann gilt: [mm]|a_n-17|=0< \varepsilon[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 170000 .
> >
> > [mm](a_n)[/mm] konv. also gegen 17.
> >
> Kann man das auch ohne Epsilon erklären,das ist mir nicht
> ganz geheuer ?
<r konvergiert.<br="">
Für die Konvergenz einer Folge spielen doch die ersten Glieder (endlich viele) keine Rolle.
Wichtig ist, dass zu bel. vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm] ab einem gewissen [mm]N(\varepsilon)[/mm] alle weiteren Glieder in einem [mm]\varepsilon[/mm]-Schlauch um den GW liegen.
Das besagt obige Schreibweise.
Ist bei deinem Bsp. auch direkt anschaulich klar:
Ab [mm]n=170000[/mm] (oder was das war) sind alle Folgenglieder konstant 17.
Das bewegt sich ab da nicht mehr von 17 weg, keinen "Millimeter" 
Konstante Folgen sind doch trivialerweise konvergent ...
Gruß
schachuzipus
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