Aussagen über Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mo 12.03.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Seien $X, Y $ Mengen, [mm] $\{A_i| i\in I \}$ [/mm] eine Familie von Teilmengen von $X$ und $f: [mm] X\rightarrow [/mm] Y $ eine Funktion. Man zeige:
[mm] $f(\cap_{i\in I} A_i [/mm] ) [mm] \subseteq \cap_{i\in I } f(A_i) [/mm] $ |
[mm] $(\Rightarrow): [/mm] $
Sei [mm] $x\in f(\cap_{i\in I } [/mm] ) [mm] \Rightarrow f^{-1} [/mm] (x) [mm] \in A_2 \wedge \ldots \wedge\ldots \Rightarrow x\in f(A_1) \wedge x\in f(A_2) \wedge x\in f(A_3) \wedge\ldots \Rightarrow x\in \cap_{i\in I } f(A_i) [/mm] $
Ich verstehe ehrlich gesagt überhaupt nicht, warum die logischen Schritte nicht (allgemein) umgedreht werden könnten. Wenn ein Element im Bild der Durchschnitte liegt, dann liegt doch das Urbild im Durchschnitt UND UMGEKEHRT. Wie/wo kann denn hier bitte eine echte Inklusion vorliegen?
Hat sich hier vielleicht der Angabeerfinder etwas falsches gedacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mo 12.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
das musst du sauberer aufschreiben.
Sei [mm] $x\in f(\bigcap_iA_i)$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $y\in\bigcap_iA_i$ [/mm] mit $f(y)=x_$. Dieses $y_$ ist Element von [mm] $A_i$ [/mm] fuer jedes $i_$. Also ist [mm] $y\in f(A_i)$ [/mm] fuer jedes $i_$ und folglich [mm] $x=f(y)=\bigcap_if(A_i)$.
[/mm]
Die Rueckrichtung gilt m.E. nicht. Betrachte [mm] $f:\IR\to\IR$, $x\mapsto x^2$, $A_1=(-\infty,+1]$, $A_2=[-1,+\infty)$. [/mm] Dann ist [mm] $4\in f(A_1)\cap f(A_2)$, [/mm] jedoch ist [mm] $4\notin f(A_1\cap A_2)$.
[/mm]
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo clemenum,
ich habe den Eindruck, du stellst dir f als bijektiv vor, was natürlich nicht der Fall sein muss. Du schreibst nämlich von [mm] $f^{-1}(x)$ [/mm] oder "das Urbild". I.A. kann x jedoch mehrere Urbilder unter f haben.
Viele Grüße
Tobias
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