Aussagenbeweise < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | [mm] \summe_{k=1}^{n}(k³)=\bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{k=1}^{n}(k²)=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Zur ersten Aufgabe:
Für den eigentlichen Beweis muss ich ja demnach "nur" noch beweisen,
dass diese Summe
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(k³)=\bruch{(n+1)²((n+1)+1)²}{4}
[/mm]
gilt. Dafür müsste ich ja
[mm] \bruch{(n+1)²((n+1)+1)²}{4} [/mm] = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}+(n+1)³
[/mm]
beweisen, oder?
Für die zweite Aufgabe würde demnach ja eigentlich das selbe Prinzip angewandt werden... Also:
[mm] \bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)²
[/mm]
Habe ich bis dahin den Induktionsbeweis richtig verstanden?
Danke schon mal im Voraus für Antworten ;)
Schönen Abend noch
deaddyer30
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Sa 31.10.2009 | | Autor: | deaddyer30 |
Ich sah gerade, dass die jeweiligen Potenzen nicht angegeben werden...
Es heißt also für die erste Aufgabe:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(k^{3})=\bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
[/mm]
Für die zweite Aufgabe wäre es also:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(k^{2})=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
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Hi deaddyer30,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(k^3)=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(k^3)=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> Zur ersten Aufgabe:
> Für den eigentlichen Beweis muss ich ja demnach "nur"
> noch beweisen,
> dass diese Summe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}(k^3)=\bruch{(n+1)^3((n+1)+1)^3}{4}[/mm]
>
> gilt. Dafür müsste ich ja
>
> [mm]\bruch{(n+1)^2((n+1)+1)^2}{4}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3[/mm]
>
> beweisen, oder?
Es gilt beide Aussagen mit Hilfe der vollst. Induktion zu beweisen.
Ich sehe allerdings keinen Induktionsbeginn, keine Induktionsvoraussetzung?
Die vollst. Induktion beruht darauf, zu zeigen, dass die Aussage für einen "Startwert" $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt. In Aufgabe 1 beginnen wir mit $\ n = 1 $, weil die Summe von $\ k = 1 $ bis $\ k=n $ läuft.
Zeige nun, dass die Aussage für $\ n = 1 $ gilt. Wenn das getan ist, darfst du vermuten, dass die Aussage für ein beliebiges $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt und hier folgt der Induktionsschritt $\ n [mm] \to [/mm] n+1 $
JETZT erst muss gezeigt werden, dass die Aussage $\ A(n) $ auch für $\ A(n+1) $ Gültigkeit behält.
Ich glaube, dass du oben schon das richtige meinst, aber das sollte anders aufgeschrieben werden.
Wir haben:
$\ A(n) = [mm] \summe_{k=1}^{n}(k^3)=\bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] $
Und sollen zeigen, dass $\ A(n+1) = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}(k^3)=\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] $ gilt.
Es ist $\ [mm] \summe_{k=1}^{\red{n+1}}(k^3) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}(k^3) \red{+ (n+1)^3} [/mm] $
Und wegen $\ [mm] \summe_{k=1}^{n}(k^3)=\bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] $ ist
$\ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}(k^3) [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} \red{+ (n+1)^3} [/mm] $
Schreibe deine vollständige Induktion also vollständig auf und zeige, dass
$\ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}(k^3) [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} \red{+ (n+1)^3} [/mm] $ äquivalent ist zu $\ A(n+1) = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}(k^3)=\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] $
Aufgabe 2 funktioniert analog.
>
> Für die zweite Aufgabe würde demnach ja eigentlich das
> selbe Prinzip angewandt werden... Also:
>
> [mm]\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)²[/mm]
>
> Habe ich bis dahin den Induktionsbeweis richtig
> verstanden?
>
> Danke schon mal im Voraus für Antworten ;)
> Schönen Abend noch
> deaddyer30
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
ChopSuey
P.S. schreibe Exponenten bitte immer mit ^2 und ^3, andernfalls werden sie nicht angezeigt.
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| Aufgabe | (a)
[mm] \bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}
[/mm]
(b)
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} [/mm] |
Hey =)
Danke schon mal für deine Antwort und für deinen Willkommensgruß.
Den I.anfang, die I.voraussetzung sowie die I.behauptung hatte ich schon aufgestellt. Trotzdem danke ich dir, dass du mich darauf noch einmal aufmerksam gemacht hast.
Sind die beiden Ansätze oben denn soweit richtig?
Wenn ja, dann löse ich diese ja nur weiter auf. Oder?
Nochmals danke,
deaddyer30
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Hallo!
> (a)
> [mm]\bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}[/mm]
>
> (b)
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}[/mm]
> Hey =)
> Danke schon mal für deine Antwort und für deinen
> Willkommensgruß.
> Den I.anfang, die I.voraussetzung sowie die I.behauptung
> hatte ich schon aufgestellt. Trotzdem danke ich dir, dass
> du mich darauf noch einmal aufmerksam gemacht hast.
>
> Sind die beiden Ansätze oben denn soweit richtig?
> Wenn ja, dann löse ich diese ja nur weiter auf. Oder?
Die Ansätze oben sind richtig. Trotzdem wird dein Beweis nicht "elegant", wenn du nun nur zeigst, dass die beiden Ausdrücke gleich sind. "Nicht elegant" ist nämlich in meinen Augen (und ich behaupte auch in den Augen vieler Korrektoren) ein Beweis, der mit der Behauptung anfängt und diese dann mit Umformungen auf eine wahre Aussage führt (Das würdest du nämlich machen, wenn du jetzt oben noch alles einfach ausmultiplizierst und man dann natürlich sieht, dass beide Seiten gleich sind). Du solltest genau umgekehrt anfangen - mit einer wahren Aussage und dann beweisen, dass die Behauptung stimmt.
Im obigen Fall macht man es aber normalerweise so:
Wir wissen dass [mm] $\summe_{k=1}^{n}k^{3} [/mm] = [mm] \frac{n^{2}*(n+1)^{2}}{4}$, [/mm] zu zeigen ist [mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^{3} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^{2}*(n+2)^{2}}{4}$ [/mm] (Wir sind jetzt schon im Induktionsbeweis!)
Dann ist
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^{3} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{3} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} \overset{IA}{=} \frac{n^{2}*(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \frac{n^{2}*(n+1)^{2} + 4*(n+1)^{3}}{4}$
[/mm]
$= [mm] \frac{(n+1)^{2} *\Big(n^{2} + 4*(n+1)\Big)}{4} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^{2} *\Big(n^{2} + 4*n+4\Big)}{4} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^{2} *(n+2)^{2}}{4}$
[/mm]
Damit hast du in einer "wunderschönen" Kette von Gleichheitszeichen gezeigt, dass die Aussage stimmt.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Do 05.11.2009 | | Autor: | deaddyer30 |
Wow =D Danke dir!
Das sieht eindeutig besser aus, als ein "einfacher" Beweis ;)
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}(k³)=\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(k²)=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm]
Das sind wieder solche (sorry...) Scheiss-Formeln,
in welchen man die Exponenten erst sehen kann,
wenn man sich den Quelltext anzeigen lässt.
Verzichtet doch auf diese doofen Tastatur-Exponenten
2 und 3, welche von TeX nicht erkannt und schlicht
weggelassen werden !
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