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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 So 20.10.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Die Zahl 3 ist eine Primzahl und 3+1 = 4 ist das Quadrat einer natürlichen Zahl. Zeigen
Sie mit Hilfe des Kontrapositionssatzes, dass es keine anderen Primzahlen n gibt, so dass
n + 1 das Quadrat einer natuerlichen Zahl ist. |
Ich habe diese Aufgabe als Übungsaufgabe bekommen, finde aber nicht wirklich einen Ansatz.
Die Kantraposition wäre ja: wenn n+1 = Quadrat einer natuerlichen Zahl, dann n keine Primzahl.
Aber wie ich dann weiter vorgehe ist mir nicht klar.
Hab schon überlegt, wie ich eine Primzahl darstellen könnte. Zb. als n=2k+1
Aber wie dann eine natürliche die keine Primzahl ist?
Ich steh total auf dem Schlauch :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 So 20.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Zahl 3 ist eine Primzahl und 3+1 = 4 ist das Quadrat
> einer natürlichen Zahl. Zeigen
> Sie mit Hilfe des Kontrapositionssatzes, dass es keine
> anderen Primzahlen n gibt, so dass
> n + 1 das Quadrat einer natuerlichen Zahl ist.
>
> Ich habe diese Aufgabe als Übungsaufgabe bekommen, finde
> aber nicht wirklich einen Ansatz.
> Die Kantraposition wäre ja: wenn n+1 = Quadrat einer
> natuerlichen Zahl, dann n keine Primzahl.
Fast: dir fehlt noch die Voraussetzung $n > 3$.
> Aber wie ich dann weiter vorgehe ist mir nicht klar.
> Hab schon überlegt, wie ich eine Primzahl darstellen
> könnte. Zb. als n=2k+1
Brauchst du nicht.
> Aber wie dann eine natürliche die keine Primzahl ist?
> Ich steh total auf dem Schlauch :(
Beachte doch mal, dass wenn $n + 1 = [mm] x^2$ [/mm] ist, dann ist $n = [mm] x^2 [/mm] - [mm] 1^2$. [/mm] Kannst du das umformen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 So 20.10.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Ich hoffe "Mitteilung" ist jetzt richtig, blick hier noch nicht so ganz durch. :)
Also, wenn [mm] n+1=x^2 [/mm] dann gilt [mm] n=x^2 [/mm] - [mm] 1^2
[/mm]
Das wiederrum ist die dritte Binomische-Formel, also gilt:
n=(x+1) * (x-1)
Das müsste doch, mit der Bedingung n>3 als Beweis reichen oder? Denn wenn n das Produkt zweier Zahlen ist, kann es keine Primzahl sein!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 20.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich hoffe "Mitteilung" ist jetzt richtig, blick hier noch
> nicht so ganz durch. :)
>
> Also, wenn [mm]n+1=x^2[/mm] dann gilt [mm]n=x^2[/mm] - [mm]1^2[/mm]
> Das wiederrum ist die dritte Binomische-Formel, also
> gilt:
>
> n=(x+1) * (x-1)
>
> Das müsste doch, mit der Bedingung n>3 als Beweis reichen
> oder? Denn wenn n das Produkt zweier Zahlen ist, kann es
> keine Primzahl sein!
Das reicht fast. Wesentlich ist, dass der kleinere der beiden Faktoren (x-1) und (x+1) NICHT 1 sein kann.
Gruß Abakus
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