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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Ve123 |
| Aufgabe | Der Sollwert für den Durchmesser von Kolben beträgt 50mm.
(normalverteilte Zufallsgröße)
Weicht der Durchmesser um mehr als 3mm vom Sollwert ab, wird der Kolben als Ausschussteil bezeichnet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig entnommener Kolben ein Ausschussteil? |
Also:
ein Kolben ist ein Ausschussteil, wenn sein Durchmesser größer als 53mm oder kleiner als 47mm ist.
also ist die Wahrscheinlicheit für den Ausschuss:
P(Xgrößer als 53) + P (Xkleiner als 47) ist die Ausschusswahrscheinlichkeit.
P (Ausschuss) = 1- P (höchstens 53) + P (höchstens 46)
die Lösung rechnet allerdings mit P (höchstens 47).
Es gibt da ja auch diese Formel für die Ausschusswahrscheinlichkeit:
2 * ( 1- [mm] \emptyset [/mm] (z) ) = [mm] \alpha
[/mm]
Dies funktioniert ja auch nur wenn es sich um symmetrische Bereiche um den Erwartungswert handelt oder?!
Nur wenn es um Werte kleiner als 47 geht sind es doch höchstens 46.
Das passt ja alles iwie nicht zusammen.
Wo ist mein denkfehler?
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> Also ist die Wahrscheinlicheit für den Ausschuss:
> P(Xgrößer als 53) + P (Xkleiner als 47) ist die
> Ausschusswahrscheinlichkeit.
> P (Ausschuss) = 1- P (höchstens 53) + P (höchstens 46)
Hallo!
Es handelt sich hierbei um eine normalverteilte Zufallsgröße (Wir haben nur Erwartungswert und Standardabweichung gegeben). Deswegen ist es egal, ob man schreibt: P(X [mm] \ge [/mm] 47) oder P(X > 47). Die beiden Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich nämlich nur durch P(X = 47), diese ist aber bei einer Normalverteilung, bei der jeder reelle Wert X (also auch 47.00001, 83.229, etc.) angenommen werden kann, verschwindend gering (= 0). Bei Normalverteilungen ist also P(X > k ) = P(X [mm] \ge [/mm] k).
Dein Ansatz ist soweit richtig, es ist
[mm] $P_{Ausschuss} [/mm] = P(X < 47) + P(X > 53) = 1 - P(47 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 53) = 1-(P(X < 53) - P(X < 47)) = 1 - P(X < 53) + P(X <47).$
Wenn du das ausrechnest, kommst du zum richtigen Ergebnis.
> die Lösung rechnet allerdings mit P (höchstens 47).
>
> Es gibt da ja auch diese Formel für die
> Ausschusswahrscheinlichkeit:
> 2 * ( 1- [mm]\emptyset[/mm] (z) ) = [mm]\alpha[/mm]
>
> Dies funktioniert ja auch nur wenn es sich um symmetrische
> Bereiche um den Erwartungswert handelt oder?!
Genau. Und das tut es hier ja. 47 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 53 ist ja ein symmetrischer Bereich um den Erwartungswert. Wir haben also (siehe von oben)
[mm] $P_{Ausschuss}$
[/mm]
$= P(X < 47) + P(X > 53)$
$= 1 - P(47 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 53)$
$= 1 - [mm] \left(\Phi\left(\bruch{53-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\bruch{47-\mu}{\sigma}\right)\right)$
[/mm]
(Hier ist [mm] \mu [/mm] = 50 der Erwartungswert und [mm] \sigma [/mm] = 3 die Standardabweichung)
$= 1 - [mm] \left(\Phi\left(\bruch{3}{\sigma}\right) - \Phi\left(\bruch{-3}{\sigma}\right)\right)$
[/mm]
und bekanntermaßen ist [mm] \Phi(-z) [/mm] = [mm] 1-\Phi(z). [/mm] Das noch auf den hinteren Term angewendet ist
$= 1 - [mm] \left(\Phi\left(\bruch{3}{\sigma}\right) - \left(1 - \Phi\left(\bruch{3}{\sigma}\right)\right)\right)$
[/mm]
$= 2 - [mm] 2*\Phi\left(\bruch{3}{\sigma}\right)$
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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