Austauschsatz von Steinitz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:16 Mo 25.04.2005 | | Autor: | monicca |
Hallo!
Ich bräuchte einen AUSFÜHRLICHEN Beweis des Austauschsatzes von Steinitz. Kann mir jemand helfen?? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG,
Moni
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Guten Morgen!
Es würde sehr helfen, wenn Du den Satz genau formulierst, so wie Du ihn kennengelernt hast. Die Erfahrung zeigt, dass es oft äquivalente oder im schlimmsten Fall nicht mal äquivalente Formulierungen desselben Sachverhaltes gibt und dass verschiedene Bücher unter den gleichen Namen was anderes verstehen.
Zur Sache: es gibt im Grunde zwei Möglichkeiten "auszutauschen":
Gegeben ein endlich-dimensionaler Vektorraum $V$ mit Basis $B = [mm] (v_1, \ldots, v_n)$. [/mm] Sei weiter $E$ ein Erzeugendensystem. Dann gilt:
(Variante 1): Zu jedem $i [mm] \in \{ 1, \ldots, n \}$ [/mm] gibt es ein $e [mm] \in [/mm] E$, so dass man den Vektor [mm] $v_i$ [/mm] aus $B$ durch $e$ ersetzen kann und wieder eine Basis erhält.
(Variante 2): Zu jedem $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \not= [/mm] 0$ gibt es ein $j [mm] \in \{1, \ldots, n \}$, [/mm] so dass man [mm] $v_j$ [/mm] in $B$ durch $v$ ersetzen kann und wieder eine Basis erhält.
In beiden Varianten wird ausgetauscht, aber es ist ein Unterschied, ob man einen Basisvektor wählt, den man loswerden will oder ob man einen Vektor wählt, den man dabei haben will.
Der Beweis ist allerdings ähnlich. 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Di 26.04.2005 | | Autor: | MicMuc |
Heißt ausführlich, dass Du den Austauschatz auch für unendlich dimensionale Vektorräume bewiesen haben möchtest?
Ohne das Auswahlaxiom oder das Zornsche Lemma kommt man da aber nicht weiter. Eins von Beiden musst Du dann voraussetzen.
Der Austauschsatz im endlich dimensionalen Fall steht wirklich in jeden Buch und Du findest auch im Internet genug ausführliche Beweise!
(Guck Dir doch einfach mal ne PDF-Datei zu einer Vorlesung zur Linearen Algebra an!)
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