Aut(G) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G Gruppe.
i) Zeigen sie, dass Aut(G)= { f:G [mm] \rightarrow [/mm] G | f ist bijektiver Grp.homo. }
ii) Zeigen sie, dass [mm] \alpha: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] Aut(G) mit g [mm] \rightarrow \alpha_{g} [/mm] mit [mm] \alpha(h)= [/mm] g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ g^{-1} [/mm] ein Grp.homo. ist.
iii) Berechnen sie den Grp.homo. [mm] \alpha [/mm] aus ii) für die beiden Gruppen G1= [mm] \IZ/6\IZ [/mm] und G2=S3. |
Hallo zusammen,
also i und ii habe ich hinbekommen, doch leider habe ich Probleme dann den entsprechenden Grp.homo. zu finden...ich weiss nicht, wie ich das anstellen muss. :( Kann mir da bitte jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 So 13.05.2012 | | Autor: | hippias |
Was hier genau mit "den Gruppenhomomorphismus berechnen" gemeint ist, kann ich auch nicht sagen. Auf jeden Fall koenntest Du versuchen Kern und Bild von [mm] $\alpha$ [/mm] zu bestimmen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 So 13.05.2012 | | Autor: | R0unde66 |
Hi!
Kannst du i und ii vielleicht mal erklären  ?
Danke
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i)
1.Ich habe die Abgeschlossenheit geziegt, jede bij. Abb. verknüpft mit einer bij. Abb. ist wieder eine bij. Abb. f [mm] \in [/mm] Aut(G)
2. Assoziativität: Ist bei Kompositionen von Abb. immer erfüllt
3. Neutrales Element: f: x [mm] \rightarrow [/mm] x ist neutrale Abb., also neutrales Element.
4. Inverse: Die Inverse ist die Umkehrfkt. [mm] f^{-1} [/mm] . [mm] f^{-1} [/mm] ist wieder Grp.homo.: [mm] z=xy=f^{-1}(z)= f^{-1}(xy)=f^{-1}(x) f^{-1}(y)=xy=z
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Aut(G) ist Gruppe
ii) xy=z mit x,y,z [mm] \in [/mm] G
[mm] \Rightarrow \alpha_{g}(z)=gzg^{-1} =\alpha_{g}(xy)= gxyg^{-1}
[/mm]
[mm] \alpha_{g}(x) \alpha_{g}(y)= gxg^{-1} gyg^{-1}=gxeyg^{-1}=gxyg^{-1}= \alpha_{g}(xy)= \alpha_{g}(z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] ist Grp.homo.
Und bei iii) komme ich nicht weiter...
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