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Autom. endlicher zykl. Gruppen: Struktur von Aut(G)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Do 24.03.2016
Autor: Marcel

Aufgabe
Ist $G=<a>$ eine ENDLICHE, ZYKLISCHE Gruppe der Ordnung n, so ist Aut(G) isomorph zu [mm] $\IZ_n^\times$. [/mm]


Hallo,

ich dachte eigentlich, dass ich den Beweis dazu verstehe/verstanden hätte.
Man definiert

    [mm] $\psi \colon \IZ_n^\times \to \text{Aut}(G)$ [/mm] mit [mm] $\psi(\overline{k}):=\phi_k$ [/mm]

mit [mm] $\phi_k(g):=g^k$ [/mm] für alle $k [mm] \in [/mm] G$

und zeigt, dass [mm] $\psi$ [/mm]

    1. wohldefiniert
    2. a) injektiv und b) surjektiv

sowie

    3. ein Monomorphismus

ist.

In merkwürdiger Weise bin ich aber bei 3. verwirrt: In dem Buch (Algebra, von
Meyberg und Karphinger) wird immer für

    $f,g [mm] \colon [/mm] G [mm] \to [/mm] G$

dann

    $fg$ anstatt $f [mm] \circ [/mm] g$

verwendet.

Ich dachte, in obigem Satz ist [mm] $\text{Aut}(G)$ [/mm] auch mit [mm] $\circ$ [/mm] versehen?

Beim Beweis dieses Satzes wird aber

    [mm] $\psi(\overline{k}+\overline{\ell})=\psi(\overline{k+\ell})=\phi_{k+\ell}=\phi_k \phi_\ell$ [/mm]

benutzt. Nun ist aber

    [mm] $\phi_k \circ \phi_\ell=\phi_{k * \ell}$ [/mm]

Ist da vielleicht ein Fehler im Buch, dass gar nicht

    [mm] $\psi(\overline{k}\red{+}\overline{\ell})=\psi(\overline{k})\psi(\overline{\ell})$ [/mm]

gemeint ist, sondern

    [mm] $\psi(\overline{k} \cdot \overline{\ell})=\psi(\overline{k})\psi(\overline{\ell})$? [/mm]

Also ist [mm] $(\text{Aut}(G),\circ)$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\IZ_n^\times, \cdot)$? [/mm] Das Plus bei
[mm] $\IZ_n^\times$ [/mm] verwirrt mich nämlich...

Gruß,
  Marcel



        
Bezug
Autom. endlicher zykl. Gruppen: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 21:17 Do 24.03.2016
Autor: UniversellesObjekt

Es stimmt natürlich, dass [mm] $(\IZ/n)^\times$ [/mm] mit Multiplikation ausgestattet sein sollte.

Übrigens ist aus allgemeinen Gründen [mm] $\operatorname{End}_\IZ(\IZ/n)= \operatorname{End}_{\IZ/n}(\IZ/n)\cong \IZ/n$ [/mm] als Ringe. Übergang zu den Einheitengruppen liefert die Behauptung.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Autom. endlicher zykl. Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Do 24.03.2016
Autor: Marcel

Hallo,

> Es stimmt natürlich, dass [mm](\IZ/n)^\times[/mm] mit
> Multiplikation ausgestattet sein sollte.


dann sollte dort auch

    [mm] $\psi(\overline{k}\cdot \overline{\ell})=...=\phi_{k\;\cdot\;\ell}$ [/mm]

gerechnet werden. Die schreiben sowas wie

    [mm] $\psi(\overline{k}\red{+} \overline{\ell})=...=\phi_{k\;\red{+}\;\ell}=\phi_k \phi_\ell$ [/mm]

Ich hatte sogar zunächst selbst einfach

    [mm] $\phi_k(g)\phi_\ell(g)=g^kg^\ell=g^{k+\ell}=\phi_{k+\ell}$ [/mm]

gerechnet. Aber danach war ich verwirrt, weil doch auf Aut(G) gar nicht [mm] $\cdot$ [/mm]
als "Multiplikation" (von Funktionswerten), sondern als Verknüpfung aufgefasst
wird; entsprechend ist

    [mm] $\phi_k \phi_\ell=\phi_{k * \ell}$, [/mm]

da

    [mm] $(\phi_k \circ \phi_\ell)(g)=\phi_k(g^\ell)=(g^\ell)^k=g^{\ell*k}$. [/mm]


Wenigstens war die Verwirrung konsequent. ;-)

Also vielleicht kann man den Autoren ja mal mitteilen, dass dort

    [mm] $\psi(\overline{k}\cdot \overline{\ell})=...=\phi_{k\;\cdot\;\ell}=\phi_k \circ \phi_\ell$ [/mm]

nachgerechnet werden sollte. ;)

> Übrigens ist aus allgemeinen Gründen
> [mm]\operatorname{End}_\IZ(\IZ/n)= \operatorname{End}_{\IZ/n}(\IZ/n)\cong \IZ/n[/mm]
> als Ringe. Übergang zu den Einheitengruppen liefert die
> Behauptung.

Ein anderes Mal denke ich vielleicht über sowas nach. Obiges reicht mir
gerade ;)
Dennoch auch Danke dafür. :-)

Gruß,
  Marcel

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