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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Fr 24.09.2010 | | Autor: | hula |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, wenn G eine Gruppe mit der Ordnung $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ ist, dann gilt : $ |Aut(G)|$ teilt $\ (n-1)!$ |
Hallo zusammen!
Zur obigen Aufgabe habe ich eine Frage. Es ist ja klar, dass man hier irgendwie den Satz von Lagrange anwenden muss im Zusammenhang mit der symmetrischen Gruppen.
Ich habe eigentlich nur eine Frage zur Lösung:
Man sagt, dass jeder Automorphismus $\ [mm] \mu [/mm] $ von G folgende Eigenschaft hat: $\ [mm] \mu{(e_G)} [/mm] = [mm] e_G [/mm] $. Nun wird einfach $\ F:=G [mm] \backslash \{e_G\} [/mm] $betrachtet. Die Automorphismus können auf $\ F$ als Permutation betrachtet werden und daher folgt dann die Aussage, da man $\ Aut(G)$ als Untergruppe von $\ [mm] S_F$ [/mm] betrachten kann.
Nun meine Frage ist: Wieso muss man diese neue Gruppe F betrachten resp. wieso muss man $\ [mm] e_G$ [/mm] "rauswerfen". Danke für eure Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Fr 24.09.2010 | | Autor: | pelzig |
> Wieso muss man diese neue Gruppe F betrachten resp.
> wieso muss man [mm]\ e_G[/mm] "rauswerfen"?
Wenn man das nicht machen würde, dann wüsste man erstmall nur, dass [mm] $\operatorname{Aut}(G)$ [/mm] Untergruppe von [mm] $\operatorname{Bij}(G)\cong S_n$ [/mm] ist, was mit Lagrange impliziert [mm]|\operatorname{Aut}(G)|\;\big|\; n![/mm]. Aber du willst ja sogar [mm](n-1)![/mm]. Nun liefert dir aber die Einschränkung [mm] $$\varphi:\operatorname{Aut}(G)\ni f\mapsto f|_{G\setminus\{e\}}\in\operatorname{Bij}\left(G\setminus\{e\}\right)\cong S_{n-1}$$ [/mm] einen injektiven Gruppenhomomorphismus, d.h. [mm] $\operatorname{Aut}(G)$ [/mm] ist als Gruppe isomorph zum Bild [mm] $\varphi(\operatorname{Aut}(G))$, [/mm] also gilt nach Lagrange [mm] $$|\operatorname{Aut}(G)|=|\varphi\left(\operatorname{Aut}(G)\right)|\;\big|\;|S_{n-1}|=(n-1)!$$ [/mm] Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Fr 24.09.2010 | | Autor: | hula |
Ok...ich habe mich evt. nicht klar ausgedrückt.
Eigentlich kann man ja mehr (weniger, je nachdem) sagen: $\ Aut(G) $ teilt auch [mm] $\ n!$
[/mm]
Ich war mir nicht sicher, ob es zwingend notwendig ist, dass man $\ [mm] e_G$ [/mm] "rauswirft".
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Fr 24.09.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ok...ich habe mich evt. nicht klar ausgedrückt.
> Eigentlich kann man ja mehr (weniger, je nachdem) sagen: [mm]\ Aut(G)[/mm]
> teilt auch [mm]\ n![/mm]
Ja das kann man natürlich sofort sagen, aber das ist halt einfach wesentlich schwächer. Wenn eine Zahl [mm] $k\in\IZ$ [/mm] die Zahl $(n-1)!$ teilt, dann natürlich auch $n!$, aber umgekehrt ist das im allgemeinen falsch, z.B. teilt $k=n!$ für [mm] $n\ge [/mm] 2$ nicht $(n-1)!$.
Gruß, Robert
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