Automorphismengruppe von S3 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 So 27.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Bestimme die Automorphismengruppe von [mm] S_{3}. [/mm] |
Hallo Forum,
ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe helfen.
Ich weiß nicht genau, wie ich die Automorphismengruppe von [mm] S_{3} [/mm] bestimmen kann. [mm] Aut(S_{3})=\left\{\varphi: S_{3} \to S_{3} \ | \ \varphi \text{ Gruppenisomorphismus} \ \right\} [/mm] ist ja so definiert, oder?
Und von [mm] S_{3} [/mm] weiß ich, dass es die Menge der bijektiven Abbildungen von {1,2,3} [mm] \to [/mm] {1,2,3} ist.
Also z.B ist das ein Automorphismus oder: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }?
[/mm]
Wie finde ich alle bijektiven Abbildungen?
Wenn ich diese gefunden habe, muss man dann die Bijektivität und die Gruppeneigenschaften nachweisen oder?
Oder wie kann ich denn zeigen, dass es ein Gruppenisomorphismus ist?
Ich komm bei der Aufgabe grad nich weiter, und hoffe, es kann mir jemand ein paar Hilfestellungen geben.
Viele Grüße und schonmal danke,
Moe
|
|
| |
|
Hallo Moe007!
> Ich weiß nicht genau, wie ich die Automorphismengruppe von
> [mm]S_{3}[/mm] bestimmen kann. [mm]Aut(S_{3})=\left\{\varphi: S_{3} \to S_{3} \ | \ \varphi \text{ Gruppenisomorphismus} \ \right\}[/mm]
> ist ja so definiert, oder?
Ja, das ist richtig.
> Und von [mm]S_{3}[/mm] weiß ich, dass es die Menge der bijektiven
> Abbildungen von {1,2,3} [mm]\to[/mm] {1,2,3} ist.
> Also z.B ist das ein Automorphismus oder: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }?[/mm]
Nein. Es ist zunächst mal nur eine Bijektion der Menge {1,2,3} auf sich selbst. Die Automorphismen von [mm]S_3[/mm] bilden Permutationen auf Permutationen ab.
> Wie finde ich alle bijektiven Abbildungen?
Hmmm, eine Eigenschaft von [mm]Aut(S_{3})[/mm] ist eben, daß es sich um eine Gruppe handelt, d.h. mit [mm]\varphi, \psi \in Aut(S_{3})[/mm] ist auch wieder [mm]\varphi \circ \psi^{-1} \in Aut(S_{3})[/mm]. Vielleicht kannst Du die Automorphismen hiervon ausgehend schrittweise konstruieren.
> Wenn ich diese gefunden habe, muss man dann die
> Bijektivität und die Gruppeneigenschaften nachweisen oder?
Bijektivität und Homomorphieeigenschaften.
LG
Karsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 27.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Karsten,
danke für deine Hilfe.
Um zu zeigen, dass [mm] Aut(S_{3}) [/mm] eine Gruppe ist, muss ich doch zeigen, dass id [mm] \in Aut(S_{3}), [/mm] das Inverse von einer Abb. [mm] \phi \in Aut(S_{3}) [/mm] enthalten sind, die Assoziativität und die Abgeschlossenheit, die du angegeben hast, gilt.
> Hmmm, eine Eigenschaft von [mm]Aut(S_{3})[/mm] ist eben, daß es sich
> um eine Gruppe handelt, d.h. mit [mm]\varphi, \psi \in Aut(S_{3})[/mm]
> ist auch wieder [mm]\varphi \circ \psi^{-1} \in Aut(S_{3})[/mm].
> Vielleicht kannst Du die Automorphismen hiervon ausgehend
> schrittweise konstruieren.
>
> > Wenn ich diese gefunden habe, muss man dann die
> > Bijektivität und die Gruppeneigenschaften nachweisen oder?
>
> Bijektivität und Homomorphieeigenschaften.
Offensichtlich gilt id [mm] \in Aut(S_{3}). [/mm] Dann habe ich gezeigt, dass das Inverse da drin liegt. Sei [mm] \phi \in Aut(S_{3}), \phi: S_{3} \to S_{3} [/mm] Gruppenisomorphimus. Da [mm] \phi [/mm] bijektiv, gibt es eine Umkerabbildung [mm] \phi^{-1}: S_{3} \to S_{3}, [/mm] die auch bijektiv ist. Aber ich muss noch zeigen, dass [mm] \phi^{-1} [/mm] ein Gruppenisomorphismus ist. Ich weiß nicht, wi ich das zeigen soll, weil die Abb. ja nicht genau weiß.
Genauso ist es bei der Abgeschlossenheit. Wie kann ich denn [mm] \phi \circ \psi^{-1} [/mm] zeigen, wenn ich die Abb. nicht kenn? Ich weiß nur, dass dass sie von [mm] S_{3} \to S_{3} [/mm] geht.
Ich hoffe, du verstehst mein Problem.
Viele Grüße,
Moe
|
|
|
| |
|
> Um zu zeigen, dass [mm]Aut(S_{3})[/mm] eine Gruppe ist, muss ich
> doch zeigen, dass id [mm]\in Aut(S_{3}),[/mm] das Inverse von einer
> Abb. [mm]\phi \in Aut(S_{3})[/mm] enthalten sind, die Assoziativität
> und die Abgeschlossenheit, die du angegeben hast, gilt.
Ja, das sind die Standard-Gruppenaxiome, die man nachprüfen kann. Es geht aber auch so, wie von mit geschildert:
> > Hmmm, eine Eigenschaft von [mm]Aut(S_{3})[/mm] ist eben, daß es sich
> > um eine Gruppe handelt, d.h. mit [mm]\varphi, \psi \in Aut(S_{3})[/mm]
> > ist auch wieder [mm]\varphi \circ \psi^{-1} \in Aut(S_{3})[/mm].
Es gilt nämlich: [mm]U \subseteq G[/mm] ist eine Untergruppe, genau dann, wenn für alle [mm]a,b \in U[/mm] gilt: [mm]ab^{-1} \in U[/mm]. Mithin ist G zu sich selbst eine Untergruppe.
Jedoch kommt es bei der Aufgabe nicht darauf an zu zeigen, daß [mm] Aut(S_{3})[/mm] eine Gruppe ist, denn das wird im Aufgabentext ja quasi erwähnt. Ich denke auch, daß ihr das in der Vorlesung gemacht habt.
> Aber ich muss noch zeigen, dass [mm]\phi^{-1}[/mm] ein
> Gruppenisomorphismus ist. Ich weiß nicht, wi ich das zeigen
> soll, weil die Abb. ja nicht genau weiß.
Das gilt immer: Mit [mm]\varphi:G \to G'[/mm] ist auch [mm]\varphi^{-1}[/mm] ein Gruppenisomorphismus. Hattet ihr das nicht? Kurzer Beweis:
Sind [mm]a',b' \in G'[/mm], so gibt es, da [mm]\varphi[/mm] surjektiv ist, zwei Elemente [mm]a,b \in G[/mm] mit [mm]\varphi(a)=a'[/mm] und [mm]\varphi(b)=b'[/mm], und es ist
[mm]\varphi^{-1}(a'b') = \varphi^{-1}(\varphi(a)\varphi(b)) = \varphi^{-1}(\varphi(ab)) = ab = \varphi^{-1}(a')\varphi^{-1}(b')[/mm]
> Genauso ist es bei der Abgeschlossenheit. Wie kann ich
> denn [mm]\phi \circ \psi^{-1}[/mm] zeigen, wenn ich die Abb. nicht
> kenn? Ich weiß nur, dass dass sie von [mm]S_{3} \to S_{3}[/mm]
> geht.
> Ich hoffe, du verstehst mein Problem.
Ja, klar. Wenn Du Dir konkrete Isomorphismen hernimmst, kannst Du das aber zeigen. Ich fürchte, man muß da einiges an Möglichkeiten durchspielen, knacke aber selber an einer kürzeren Lösung. Immerhin hat [mm]S_3[/mm] eine Elementzahl von 3! = 6 und damit gäbe es 6! = 720 bijektive Abbildungen zu prüfen *kreisch*...
LG einstweilen
Karsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Karsten,
danke für deine Antwort. Mir ist bei der Aufgabe immer noch nicht klar, was ich jetzt genau zeigen muss, wenn ich gar nicht zeigen brauche, dass [mm] Aut(S_{3}) [/mm] eine Gruppe ist.
Muss ich nun zeigen, dass [mm] \forall \phi,\psi \in Aut(S_{3}) [/mm] gilt [mm] \phi\psi^{-1} \in Aut(S_{3}), [/mm] oder wie muss ich genau anfangen?
In der Aufgabenstellung steht, ich soll die Automorphismengruppe von [mm] S_{3} [/mm] bestimmen, also ich soll doch alle Abb. [mm] \phi: S_{3} \to S_{3} [/mm] bestimmen, die Gruppenisomorphismen sind.
Aber wie kann ich das allgemein zeigen, oder muss ich da alle 720 bijektiven Abb. prüfen?
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß,wie ich bei dem Beweis vorgehen soll und wie ich diese Gruppe bestimmen kann.
Ich hoffe, du kannst mir da etwas weiter helfen!
Vielen Dank und viele Grüße,
Moe
|
|
|
| |
|
> Hallo Karsten,
> danke für deine Antwort. Mir ist bei der Aufgabe immer
> noch nicht klar, was ich jetzt genau zeigen muss, wenn ich
> gar nicht zeigen brauche, dass [mm]Aut(S_{3})[/mm] eine Gruppe ist.
Nein, brauchst Du nicht, denn es ist [mm]Aut(S_{3})[/mm] in der Aufgabe ja schon als Gruppe bezeichnet. Du sollst alle Elemente von [mm]Aut(S_{3})[/mm] angeben.
> Muss ich nun zeigen, dass [mm]\forall \phi,\psi \in Aut(S_{3})[/mm]
> gilt [mm]\phi\psi^{-1} \in Aut(S_{3}),[/mm] oder wie muss ich genau
> anfangen?
Das war nur meine ursprüngliche Idee, aus bereits vorhandenen [mm]\phi, \psi \in Aut(S_{3})[/mm] einen neuen Automorphismus zu konstruieren
> In der Aufgabenstellung steht, ich soll die
> Automorphismengruppe von [mm]S_{3}[/mm] bestimmen, also ich soll
> doch alle Abb. [mm]\phi: S_{3} \to S_{3}[/mm] bestimmen, die
> Gruppenisomorphismen sind.
Ja.
> Aber wie kann ich das allgemein zeigen, oder muss ich da
> alle 720 bijektiven Abb. prüfen?
Nein. Das wäre Overkill. Ich habe mittlerweile folgendes im Netz gefunden: Die Automorphismen von [mm]S_{3}[/mm] sind genau die inneren Automorphismen von [mm]S_{3}[/mm], sie werden mit [mm]Int(S_{3})[/mm] bezeichnet. Informiere Dich mal über diesen Begriff des inneren Automorphismus. Einen Beweis habe ich leider selber nicht, wohl aber den Hinweis, man solle die Aktion von [mm]Int(S_{3})[/mm] auf die Menge der Transpositionen von [mm]S_{3}[/mm] betrachten.
Mehr weiß ich im Augenblick leider auch nicht.
LG
Karsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Karsten,
ich habe im Internet herumgesucht, und diesen Link hier gefunden:
fara.cs.uni-potsdam.de/~hertzi/uncontrolled/mathe06_26.pdf
Da steht die Bestimmung von [mm] Aut(S_{3}) [/mm] drin, aber ich versteh die Tabelle nicht, die angegeben ist.
Warum bildet g1: (123) [mm] \to [/mm] (132) ab, und g2 und g5 machen auch dasselbe?
Ich versteh auch nicht, warum es genau nur diese 6 Permutationen in der 1. Spalte gibt. Warum gibt es nicht (2) oder (3)?
Aus der Tabelle kann man ja die Bijektivität ablesen, eine einelementige Menge wird auf eine einelementige abgebildet, eine 2-elementige auf eine 2-elementige, eine 3-elementige auf eine 3-elementige. Stimmt das?
Und wie kann ich jetzt anhand der Tabelle die Homorphismuseigenschaft nachweisen?
Ich versteh grundsätzlich nicht, wie man auf die Einträge in der Tabelle kommt. Vielleicht könntest du sie dir ja mal anschauen, und es mir erklären.
Ich wäre dir da sehr dankbar.
Viele Grüße,
Moe
|
|
|
| |
|
> Warum bildet g1: (123) [mm]\to[/mm] (132) ab, und g2 und g5 machen
> auch dasselbe?
Das ist einfach eine Zuordnung.
> Ich versteh auch nicht, warum es genau nur diese 6
> Permutationen in der 1. Spalte gibt.
Es gibt nur sechs Permutationen in [mm]S_3[/mm].
> Warum gibt es nicht (2) oder (3)?
Die sind beide gleich (1). (2) bildet 2 auf 2 ab und läßt alle anderen Elemente unverändert. Das ist die Identität, also (1).
> Aus der Tabelle kann man ja die Bijektivität ablesen, eine
> einelementige Menge wird auf eine einelementige abgebildet,
> eine 2-elementige auf eine 2-elementige, eine 3-elementige
> auf eine 3-elementige. Stimmt das?
Die Bijektivität siehst man daran, daß jedes Element der ersten Spalte genau einmal verbraten wird pro Automorphismus.
>
> Und wie kann ich jetzt anhand der Tabelle die
> Homorphismuseigenschaft nachweisen?
Das fällt mir auch gerade nicht ein. Vielleicht ist es die Abbildung von k-elementigen auf k-elementige Zyklen.
>
> Ich versteh grundsätzlich nicht, wie man auf die Einträge
> in der Tabelle kommt. Vielleicht könntest du sie dir ja mal
> anschauen, und es mir erklären.
Die Tabelle kann Dir allenfalls eine gewisse Anschaulichkeit vermitteln. Sie ist aber kein Beweis, denn sie zeigt nicht, daß die angegebenen Automorphismen auch wirklich alle sind. Vielleicht hilft Dir dieser Thread weiter:
![[]](/images/popup.gif) http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=74021
LG
Karsten
|
|
|
|
